前言
二叉查找樹是最常用的一種二叉樹，它支持快速插入、刪除、查找操作，各個操作的時間復雜度跟樹的高度成正比，理想情況下，時間復雜度是O(logn)。
不過，二叉查找樹在頻繁的動態更新過程中，可能會出現樹的高度遠大於log2n 的情況，從而導致各個操作的效率下降。極端情況下，二叉樹會退化為鏈表，時間復雜度會退化到 O(n)。我上一節說了，要解決這個復雜度退化的問題，我們需要設計一種平衡二叉查找樹。
1 平衡二叉樹定義
平衡二叉樹的嚴格定義是這樣的：二叉樹中任意一個節點的左右子樹的高度相差不能大於 1。平衡二叉查找樹不僅滿足定義，還滿足二叉查找樹的特點。最先被發明的平衡二叉查找樹是AVL樹。它嚴格符合平衡二叉查找樹的定義，是一種高度平衡的二叉查找樹。
但是很多平衡二叉查找樹其實並沒有嚴格符合上面的定義（樹中任意一個節點的左右子樹的高度相差不能大於 1），比如紅黑樹，它從根節點到各個葉子節點的最長路徑，有可能會比最短路徑大一倍。
發明平衡二叉查找樹這類數據結構的初衷是，解決普通二叉查找樹在頻繁的插入、刪除等動態更新的情況下，出現時間復雜度退化的問題。
所以，平衡二叉查找樹中“平衡”的意思，其實就是讓整棵樹左右看起來比較“對稱”、比較“平衡”，不要出現左子樹很高、右子樹很矮的情況。這樣就能讓整棵樹的高度相對來說低一些，相應的插入、刪除、查找等操作的效率高一些。
所以，如果我們現在設計一個新的平衡二叉查找樹，只要樹的高度不比 log2n 大很多（比如樹的高度仍然是對數量級的），盡管它不符合我們前面講的嚴格的平衡二叉查找樹的定義，但我們仍然可以說，這是一個合格的平衡二叉查找樹。
2 如何定義一顆“紅黑樹”
紅黑樹的英文是“Red-Black Tree”，簡稱 R-B Tree。它是一種不嚴格的平衡二叉查找樹。紅黑樹中的節點，一類被標記為黑色，一類被標記為紅色。除此之外，一棵紅黑樹還需要滿足這樣幾個要求：
- 根節點是黑色的；
- 每個葉子節點都是黑色的空節點（NIL），也就是說，葉子節點不存儲數據；
- 任何相鄰的節點都不能同時為紅色，也就是說，紅色節點是被黑色節點隔開的；
- 每個節點，從該節點到達其可達葉子節點的所有路徑，都包含相同數目的黑色節點；
如果要證明紅黑樹是近似平衡的，我們只需要分析，紅黑樹的高度是否比較穩定地趨近 log2n 就好了。
首先，我們來看，如果我們將紅色節點從紅黑樹中去掉，那單純包含黑色節點的紅黑樹的高度是多少呢？
紅色節點刪除之后，有些節點就沒有父節點了，它們會直接拿這些節點的祖父節點（父節點的父節點）作為父節點。所以，之前的二叉樹就變成了四叉樹。
前面紅黑樹的定義里有這么一條：從任意節點到可達的葉子節點的每個路徑包含相同數目的黑色節點。我們從四叉樹中取出某些節點，放到葉節點位置，四叉樹就變成了完全二叉樹。所以，僅包含黑色節點的四叉樹的高度，比包含相同節點個數的完全二叉樹的高度還要小。
完全二叉樹的高度近似 log2n，這里的四叉“黑樹”的高度要低於完全二叉樹，所以去掉紅色節點的“黑樹”的高度也不會超過 log2n。
現在把紅色節點加回去，高度會變成多少呢？
從上面我畫的紅黑樹的例子和定義看，在紅黑樹中，紅色節點不能相鄰，也就是說，有一個紅色節點就要至少有一個黑色節點，將它跟其他紅色節點隔開。紅黑樹中包含最多黑色節點的路徑不會超過 log2n，所以加入紅色節點之后，最長路徑不會超過 2log2n，也就是說，紅黑樹的高度近似 2log2n。
所以，紅黑樹的高度只比高度平衡的 AVL 樹的高度（log2n）僅僅大了一倍，在性能上，下降得並不多。這樣推導出來的結果不夠精確，實際上紅黑樹的性能更好。
解答開題
我們前面提到 Treap、Splay Tree都是平衡二叉樹，絕大部分情況下，它們操作的效率都很高，但是也無法避免極端情況下時間復雜度的退化。盡管這種情況出現的概率不大，但是對於單次操作時間非常敏感的場景來說，它們並不適用。
AVL 樹是一種高度平衡的二叉樹，所以查找的效率非常高，但是，有利就有弊，AVL 樹為了維持這種高度的平衡，就要付出更多的代價。每次插入、刪除都要做調整，就比較復雜、耗時。所以，對於有頻繁的插入、刪除操作的數據集合，使用 AVL 樹的代價就有點高了。
紅黑樹只是做到了近似平衡，並不是嚴格的平衡，所以在維護平衡的成本上，要比 AVL 樹要低。
所以，紅黑樹的插入、刪除、查找各種操作性能都比較穩定。對於工程應用來說，要面對各種異常情況，為了支撐這種工業級的應用，我們更傾向於這種性能穩定的平衡二叉查找樹。
因為紅黑樹是一種性能非常穩定的二叉查找樹，所以，在工程中，但凡是用到動態插入、刪除、查找數據的場景，都可以用到它。不過，它實現起來比較復雜，如果自己寫代碼實現，難度會有些高，這個時候，我們其實更傾向用跳表來替代它。
總結
紅黑樹是一個讓我又愛又恨的數據結構，“愛”是因為它穩定、高效的性能，“恨”是因為實現起來實在太難了。
學習紅黑樹的代碼實現，對於平時做項目開發沒有太大幫助。對於絕大部分開發工程師來說，這輩子可能都用不着親手寫一個紅黑樹。除此之外，它對於算法面試也幾乎沒什么用，一般情況下，靠譜的面試官也不會讓你手寫紅黑樹的。