二叉查找樹(BST樹)

二叉查找樹的特點：

在二叉查找樹中左子樹上所有結點的數據都小於等於根結點的數據,而右子樹上所有結點的數據都大於根結點的數據

//存儲結構：
struct node
{
    Int data;
    node *lchild;
    node *rchild;
};

//在建樹前根節點不存在:
Node *root = NULL;

//新建結點:
node *newNode(int v)
{
    node *Node = new node;
    Node->data = v;
    Node->lchild = NULL;
    Node->rchild = NULL;
    return Node;
}

//二叉查找樹結點的查找、修改:
//時間復雜度:O(h) h是二叉查找樹的高度
void search(node *root,int x,int newdata) // 在這里修改的是root指針指向的內容,所以不需要加引用&
{
    if(root == NULL)
        return;
    if(root->data == x)
        root->data = newdata;
    if(root->data <= x) search(root->lchild,x,newdata);
    else if(root->data > x)
        search(root->rchild,x,newdata);
}
//二叉查找樹的插入:
//時間復雜度:O(h) h是二叉查找樹的高度
void insert(node *&root,int x) // 這里要加引用,是因為修改的是root指針本身 
{
    if(root == NULL)
    {
        root = newNode(x);
        return root;
    }
    if(x<=root->data)   // 生成二叉查找樹 
        insert(root->lchild,x);
    else
        insert(root->rchild,x);
}

//二叉查找樹的創建:
node *create(int data[],int n)   
{
    node *root = NULL;
    for(int i=0;i<n;++i)
        insert(root,data[i]);
    return root;    
}

 

二叉查找樹的刪除
一般有兩種常見做法,時間復雜度都是$O(h)$,h是二叉查找樹的高度。為了保證刪除之后仍然是二叉查找樹。
一種方法是以樹中比刪去數小而又最大的結點(稱為該結點的前驅)覆蓋刪去數，再刪去該結點。
另一種則是以樹中比刪去數大而又最小的結點(稱為該結點的后繼)覆蓋刪去數，再刪去該結點。

node *findMax(node *root)
{
    while(root->rchild != NULL)
        root = root->rchild;
    return root;
}

node *findMin(node *root)
{
    while(root->lchild != NULL)
        root = root->lchild;
    return root;
}

void deleteNode(node *&root,int x) // 加引用是因為要修改指針本身(刪除) 
{
    if(root == NULL) // 樹中沒有x這個數據 
        return;
    if(root->data == x)
    {
        if(root->lchild==NULL && root->rchild==NULL)  //沒有左右子樹,直接刪除 
        {
            root = NULL;
        }
        else if(root->lchild!=NULL) // 有左子樹,則找前驅來覆蓋root 
        {
            node *pre = findMax(root->lchild);
            root->data = pre->data;
            deleteNode(root,pre->data);
        }
        else if(root->rchild!=NULL) // 有右子樹,則找后繼來覆蓋root 
        {
            node *next = findMin(root->rchild);
            root->data = next->data;
            deleteNode(root,next->data);
        }
    }
    else if(root->data > x)  // 根據二叉查找樹特性繼續找x 
    {
        deleteNode(root->lchild,x);
    }
    else
    {
        deleteNode(root->rchild,x);
    }
}

這段代碼還可以進行優化，例如在找到欲刪除結點root的后繼結點next后，不進行遞歸刪除，而通過這樣的手段直接刪除該后繼：假設結點next的父親結點是結點S，顯然next是結點S的左孩子，那么由於結點next一定沒有左子樹，便可以直接把結點next的右子樹代替結點next成為S的左子樹，這樣就刪去了結點next。前驅同理。但這個優化需要在結點定義中額外記錄每個結點的父親結點地址。
而且我們可以發現上面的二叉查找樹刪除操作總是優先刪除前驅(或者后繼)，這樣容易使樹的左右子樹高度不平衡，最終使二叉查找樹退化成一條鏈。
有兩種方法解決這個問題：1.每次交替刪除前驅或者后繼 2.記錄每個節點子樹的高度，並且總是優先在高度較高的子樹里刪除結點。（也是平衡二叉樹(AVL樹)的原理）

二叉查找樹的一個性質：因為二叉查找樹本身的特點(左<=根<右)，因此對二叉查找樹進行中序遍歷，遍歷的結果是有序的。