二叉查找樹（四）

　　接上一篇，讓我們來繼續討論二叉查找樹的基本操作，需要注意的一點是，上篇中的遍歷操作是針對任意一棵二叉樹都可以的，凡是沒提及需要二叉查找樹性質的地方，應該都是滿足二叉樹的操作。上篇主要討論了二叉樹的遍歷操作，這篇，我們來討論二叉查找樹的查找、求最大最小值以及求前驅和后繼等操作。

• 查找

　　二叉查找樹的查找操作可以在O(h)時間內完成，其中h為樹的高度。查找的算法很簡單，根據二叉查找樹的性質，我們先將要比較的元素跟根元素相比較，如果相等則返回，如果大於根結點的key，則繼續在右子樹中查找，如果小於根結點的key值，則在左子樹中查找。這也跟插入過程類似，童鞋們可以想象一下，我就不畫圖了，畫圖很麻煩。

　　下面的代碼完成了在樹根為x的樹中查找關鍵字為k的元素，如果存在的話就返回其飲用，不存在，則返回null。

　　遞歸查找的代碼為：

/**
     * 查找以x為根結點的樹中key的值為k的結點，返回找到的結點或者null
     * @author Alfred
     * @param x 根結點
     * @param k 要查找的整數
     * @return 找到的結點或者null
     */
    private TreeNode treeSearch(TreeNode x, int k){
        if(x == null || k == x.getKey()){
            return x;
        }
        if(k < x.getKey()){
            return treeSearch(x.getLeft(), k);//查左子樹
        }else{
            return treeSearch(x.getRight(), k);//查右子樹
        }
    }

　　非遞歸查找的代碼為：

　

/**
     * 非遞歸地查找以x為根結點的樹中key的值為k的結點，返回找到的結點或者null
     * @author Alfred
     * @param x 根結點
     * @param k 要查找的整數
     * @return 找到的結點或者null
     */
    private TreeNode treeSearchNonrecursive(TreeNode x, int k){
        while(x != null && k != x.getKey()){
            if(k < x.getKey()){
                x = x.getLeft();
            }else{
                x = x.getRight();
            }
        }
        return x;
    }

• 最大值

　　根據二叉查找樹的性質，樹中的最大值一定是位於整棵樹的最“右”邊的右孩子，因為，二叉查找樹的性質中說明了，右子樹中的結點都大於或者等於父結點和左子樹。所以求最大值是一個很簡單的操作。代碼如下：

/**
     * 找以x為根結點的二叉查找樹中的最大值
     * @author Alfred
     * @param x 根結點
     * @return 最大值結點或者null
     */
    public TreeNode treeMax(TreeNode x){
        while(x.getRight() != null){
            x = x.getRight();
        }
        return x;
    }

• 最小值

　　同理，根據二叉查找樹的性質，最小值一定是位於整棵樹中最“左”邊的左孩子，因為，二叉查找樹的性質的性質中說明了，左子樹中的結點都小於或者等於父結點和右子樹。所以跟求最大值對偶的代碼如下：

/**
     * 找以x為根結點的二叉查找樹中的最小值
     * @author Alfred
     * @param x 根結點
     * @return 最小值結點或者null
     */
    public TreeNode treeMin(TreeNode x){
        while(x.getLeft() != null){
            x = x.getLeft();
        }
        return x;
    }

• 后繼

　　由於在之前的博客里面數結點的定義形式，在處理的時候將樹中相同的結點全都合並了起來，因此，位於樹中不同位置的結點的key值肯定是不同的。因此，我們將求某一個結點后繼結點的操作看成是求大於該結點key值的結點中key值最小的那個結點（有點繞。。。）。

　　我們記結點x為輸入結點，y為輸出結點，即y結點是x結點的后繼，在我們這里分兩種情況進行討論：

　　1. x結點的右子樹不為空。

　　　　根據二叉查找樹的性質，y肯定是位於x的右子樹上，而且是x的右子樹的最小值。

　　2. x結點的右子樹為空。

　　　　如果存在后繼y，則y是x的最低祖先結點，且y的左兒子也是x的祖先。暈了？說的簡單些。如果x結點的右子樹為空，則以x結點為最“右”孩子的子樹t中，x結點一定是這個子樹的最大值，根據二叉查找樹的性質，只有當存在某一結點y，y的左子樹恰好是t的時候，y才是x的后繼。現在回去讀一讀這段開始的話，是不是容易理解多了。

　　好了，了解了基本的算法，就讓我貼上代碼吧~

    /**
     * 找結點x的后繼結點
     * @author Alfred
     * @param x 結點
     * @return x的后繼結點或者null
     */
    public TreeNode treeSuccessor(TreeNode x){
        //第一種情況
        if(x.getRight() != null){
            return treeMin(x.getRight());
        }
        //第二種情況
        TreeNode tmpNode = x.getParent();
        while(tmpNode != null && x == tmpNode.getRight()){
            x = tmpNode;
            tmpNode = tmpNode.getParent();
        }
        return tmpNode;
    }

　　這個算法就是按照上面提到的兩種情況來實現的，時間復雜度為O(h)，h為樹的高度。

• 前驅

　　求結點的前驅的算法與后繼的算法是對稱的。其時間復雜度也是O(h)。在處理上也分為兩種情況，我就直接上代碼了，有心的童鞋們自己想一下吧~

/**
     * 找結點x的前趨結點
     * @author Alfred
     * @param x 結點
     * @return x的前趨結點或者null
     */
    public TreeNode treePredecessor(TreeNode x){
        //第一種情況
        if(x.getLeft() != null){
            return treeMax(x.getLeft());
        }
        //第二種情況
        TreeNode tmpNode = x.getParent();
        while(tmpNode != null && x == tmpNode.getLeft()){
            x = tmpNode;
            tmpNode = tmpNode.getParent();
        }
        return tmpNode;
    }

　　嗯。。。本話完，其他操作下回分解。