脈沖神經網絡

生物神經元

1.神經元基本結構

• 細胞體

• 神經突

  • 樹突
    1. 大多呈樹狀分支
    2. 接受外部刺激，並將沖動傳遞到細胞體
  • 軸突
    1. 細索狀
    2. 末端存在許多分支（軸突終末）
    3. 沖動通過軸突從細胞體傳遞到軸突終末

• 神經元有一個或多個感受外界刺激的樹突

• 只含有一條傳遞沖動的軸突。一邊細胞體比較大的神經元其軸突也相對比較長

• 分成四個組成部分：

  1. 接受區

     神經元從樹突到細胞體之間的部分，產生電位變化

  2. 觸發區

  3. 傳導區

  4. 輸出區

脈沖神經元模型

1.H-H模型

\[I(t)=I_c(t)+\sum_kI_k(t) \]

2.LIF模型

對於等效電路的電流應滿足： $$ I(t)=I_R+I_C $$ 對於等效電容的電流 $I_C$： $$ \begin{cases}Q=CU\\I_{C}=\dfrac{dQ}{dt}\end{cases}\\ \Rightarrow I_{C}=C\dfrac{dU}{dt} $$ 對於通過電阻的電流 $I_R$： $$ I_R=\frac{u(t)-u_{rest}}{R} $$ 則有下式（式中 $u(t)$ 直接使用 $u$ 表示）： $$ I(t)=\frac{u-u_{rest}}{R}+C\dfrac{du}{dt} $$ 方便起見，令 $\tau_m=Rc$： $$ \tau_m\frac{du}{dt}=-[u(t)-u_{rest}]+RI(t)\tag{1} $$

• 假設當 \(t=0\) 時，電容電位為 \(u_{rest}+\Delta u\) ，當 \(t>0\) 后，有 \(I(t)=0\)

  外部刺激停止，沒有沖動繼續傳遞到細胞體

  解一階線性微分方程(1)的初值條件為 \(u|_{t=0}=u_{rest}+\Delta u\) ，且 \(I(t)=0\)

  \[u(t)=u_{rest}+\Delta u\cdot\exp\left (-\frac{t-t_0}{\tau_m}\right )\quad\text{for}\quad t>t_0\tag{1.1} \]

• 電流恆為 \(I(t)=I_0\) ，此電流開始於 \(t=0\) ，結束於 \(t=\Delta\) 。

  恆定外部刺激，沖動持續傳遞到細胞體

  解一階線性微分方程(1)的初值條件為 \(u|_{t=0}=u_{rest}\) ，且 \(I(t)=I_0\)

  \[u(t)=u_{rest}+RI_0\left [1-\exp\left (-\frac{t}{\tau_m}\right )\right ]\tag{1.2} \]

  當 \(t\to\infty\) ，the asymptotic value \(u(\infty)=u_{rest}+RI_0\) , 一旦到達穩態，電容上的電荷不會再改變，所有的電流都會經過電阻。即：

  \[\begin{cases}I_C=0,\\I(t)=I_0,\\I(t)=I_C+I_R\end{cases}\\ \Rightarrow I_R=I_o \]

Example: Short pulses and the Dirac \(\delta\) function

對於短脈沖達不到穩態時。在脈沖的末端，膜電位根據公式(1.2)可寫為 \(u(\Delta)\) 。當 \(\Delta\ll\tau_m\) 可以使用 Taylor 展開：\(\exp(x)=1+x+\frac{x^2}{2}...\)，對於一階展開可以得到：

\[u(\Delta)=u_{rest}+RI_0\frac{\Delta}{\tau_m}\quad\text{for}\quad\Delta\ll\tau_m\tag{1.3} \]

現在讓 \(\Delta\) 越來越短，同時增加電流的幅度到 \(I_0=q/\Delta\) ，以至於 \(\int I(t)dt=q\) 保持不變。

注意：這里的模型強調的是 \(\Delta\) 和 \(I_0\) 是獨立變量，\(q\) 是通過控制二者得到的。此模型簡化了外部刺激，認為是恆定電流，且受到外部刺激時電流瞬間達到恆定值，外部刺激結束時，電流瞬間歸零。

所以將這兩個變量鎖定時，電荷量總是相同的。由公式 (1.3) 計算出的脈沖尾部值也保持不變。

\[u(\Delta)-u_{rest}=qR/\tau_m=q/C\\ \begin{cases}I(t)=q\delta(t)=\lim_{\Delta\to0}\frac{q}{\Delta},\quad&0<t<\Delta\\ I(t)=0,&otherwise \end{cases} \]

其中 \(\delta(t)\) 為 Dirac \(\delta\)-function，it is defined by：

\[\begin{cases} \int_{-\infty}^{\infty}\delta(x)dx=1,\\ \delta(x)=0\quad \text{for}\quad x\neq0 \end{cases} \]