脉冲神经网络

生物神经元

1.神经元基本结构

• 细胞体

• 神经突

  • 树突
    1. 大多呈树状分支
    2. 接受外部刺激，并将冲动传递到细胞体
  • 轴突
    1. 细索状
    2. 末端存在许多分支（轴突终末）
    3. 冲动通过轴突从细胞体传递到轴突终末

• 神经元有一个或多个感受外界刺激的树突

• 只含有一条传递冲动的轴突。一边细胞体比较大的神经元其轴突也相对比较长

• 分成四个组成部分：

  1. 接受区

     神经元从树突到细胞体之间的部分，产生电位变化

  2. 触发区

  3. 传导区

  4. 输出区

脉冲神经元模型

1.H-H模型

\[I(t)=I_c(t)+\sum_kI_k(t) \]

2.LIF模型

对于等效电路的电流应满足： $$ I(t)=I_R+I_C $$ 对于等效电容的电流 $I_C$： $$ \begin{cases}Q=CU\\I_{C}=\dfrac{dQ}{dt}\end{cases}\\ \Rightarrow I_{C}=C\dfrac{dU}{dt} $$ 对于通过电阻的电流 $I_R$： $$ I_R=\frac{u(t)-u_{rest}}{R} $$ 则有下式（式中 $u(t)$ 直接使用 $u$ 表示）： $$ I(t)=\frac{u-u_{rest}}{R}+C\dfrac{du}{dt} $$ 方便起见，令 $\tau_m=Rc$： $$ \tau_m\frac{du}{dt}=-[u(t)-u_{rest}]+RI(t)\tag{1} $$

• 假设当 \(t=0\) 时，电容电位为 \(u_{rest}+\Delta u\) ，当 \(t>0\) 后，有 \(I(t)=0\)

  外部刺激停止，没有冲动继续传递到细胞体

  解一阶线性微分方程(1)的初值条件为 \(u|_{t=0}=u_{rest}+\Delta u\) ，且 \(I(t)=0\)

  \[u(t)=u_{rest}+\Delta u\cdot\exp\left (-\frac{t-t_0}{\tau_m}\right )\quad\text{for}\quad t>t_0\tag{1.1} \]

• 电流恒为 \(I(t)=I_0\) ，此电流开始于 \(t=0\) ，结束于 \(t=\Delta\) 。

  恒定外部刺激，冲动持续传递到细胞体

  解一阶线性微分方程(1)的初值条件为 \(u|_{t=0}=u_{rest}\) ，且 \(I(t)=I_0\)

  \[u(t)=u_{rest}+RI_0\left [1-\exp\left (-\frac{t}{\tau_m}\right )\right ]\tag{1.2} \]

  当 \(t\to\infty\) ，the asymptotic value \(u(\infty)=u_{rest}+RI_0\) , 一旦到达稳态，电容上的电荷不会再改变，所有的电流都会经过电阻。即：

  \[\begin{cases}I_C=0,\\I(t)=I_0,\\I(t)=I_C+I_R\end{cases}\\ \Rightarrow I_R=I_o \]

Example: Short pulses and the Dirac \(\delta\) function

对于短脉冲达不到稳态时。在脉冲的末端，膜电位根据公式(1.2)可写为 \(u(\Delta)\) 。当 \(\Delta\ll\tau_m\) 可以使用 Taylor 展开：\(\exp(x)=1+x+\frac{x^2}{2}...\)，对于一阶展开可以得到：

\[u(\Delta)=u_{rest}+RI_0\frac{\Delta}{\tau_m}\quad\text{for}\quad\Delta\ll\tau_m\tag{1.3} \]

现在让 \(\Delta\) 越来越短，同时增加电流的幅度到 \(I_0=q/\Delta\) ，以至于 \(\int I(t)dt=q\) 保持不变。

注意：这里的模型强调的是 \(\Delta\) 和 \(I_0\) 是独立变量，\(q\) 是通过控制二者得到的。此模型简化了外部刺激，认为是恒定电流，且受到外部刺激时电流瞬间达到恒定值，外部刺激结束时，电流瞬间归零。

所以将这两个变量锁定时，电荷量总是相同的。由公式 (1.3) 计算出的脉冲尾部值也保持不变。

\[u(\Delta)-u_{rest}=qR/\tau_m=q/C\\ \begin{cases}I(t)=q\delta(t)=\lim_{\Delta\to0}\frac{q}{\Delta},\quad&0<t<\Delta\\ I(t)=0,&otherwise \end{cases} \]

其中 \(\delta(t)\) 为 Dirac \(\delta\)-function，it is defined by：

\[\begin{cases} \int_{-\infty}^{\infty}\delta(x)dx=1,\\ \delta(x)=0\quad \text{for}\quad x\neq0 \end{cases} \]