1.圖：
1.1無向圖的定義：一個無向圖G是一個有序的二元組<V,E>，其中V是一個非空有窮集，稱作頂點集，其元素稱作頂點或結點。E是無序積V&V的有窮多重子集，稱作邊集，其元素稱作無向邊，簡稱邊。
注意：元素可以重復出現的集合稱作多重集合。某元素重復出現的次數稱作該元素的重復度。例如，在多重集合{a,a,b,b,b,c,d}中，a,b,c,d的重復度分別為2，3，1，1。從多重集合的角度考慮，無元素重復出現的集合是各元素重復度均為1的多重集。
1.2有向圖的定義：一個有向圖G是一個有序的二元組<V,E>，其中V是一個非空有窮集，稱作頂點集，其元素稱作頂點或結點。E是笛卡爾積V✖V的有窮多重子集，稱作邊集，其元素為有向邊，簡稱為邊。
通常用圖形來表示無向圖和有向圖：用小圓圈（或實心點）表示頂點，用頂點之間的連線表示無向邊，用帶箭頭的連線表示有向邊。
與1.1，1.2有關的一些概念和定義：
（1）無向圖和有向圖統稱為圖，但有時也把無向圖簡稱作圖。通常用G表示無向圖，D表示有向圖，有時也用G泛指圖（無向的或有向的）。用V(G),E(G)分別表示G的頂點集和邊集，|V(G)|,|E(G)|分別是G的頂點數和邊數，有向圖也有類似的符號。
（2）頂點數稱作圖的階，n個頂點的圖稱作n階圖。
（3）一條邊也沒有的圖稱作零圖，n階零圖記作Nn。1階零圖N1稱作平凡圖。平凡圖只有一個頂點，沒有邊。
（4）在圖的定義中規定頂點集V為非空集，但在圖的運算中可能產生頂點集為空集的運算結果，為此規定頂點集為空集的圖為空圖，並將空圖記作Ø。
（5）當用圖形表示圖時，如果給每一個頂點和每一條邊指定一個符號（字母或數字，當然字母還可以帶下標），則稱這樣的圖為標定圖，否則稱作非標定圖。
（6）將有向圖的各條有向邊改成無向邊后所得到的無向圖稱作這個有向圖的基圖。
（7）若兩個頂點vi與vj之間有一條邊連接，則稱這兩個頂點相鄰。若兩條邊至少有一個公共端點，則稱這兩條邊相鄰。
1.3在無向圖中，如果關聯一對頂點的無向邊多余1條，則稱這些邊為平行邊，平行邊的條數稱為重數。在有向圖中，如果關聯一對頂點的有向邊多余1條，並且這些邊的始點與終點相同（也就是它們的方向相同），則稱這些邊為平行邊。含平行邊的圖稱作多重圖，既不含平行邊也不含環的圖稱作簡單圖。
1.4設G=<V,E>為無向圖，∀v∈V,稱v作為邊的端點的次數為v的度數，簡稱為度，記作dG(v)。在不發生混淆的時候，略去下標G，簡記為d(v)。設D=<V,E>為有向圖，∀v∈V，稱v作為邊的始點的次數為v的出度，己作dD+(v)，簡記為d+(v)。稱v作為邊的終點的次數為v的入度，記作dD-(v)，簡記為d-(v)。稱d+(v)+d-(v)為v的度數，己作dD(v)，簡記為d(v)。
注意：在無向圖中，頂點v上的環以v作2次端點。在有向圖中，頂點v上的環以v作一次始點和一次終點，共作2次端點。
另外，稱度數為1的頂點為懸掛頂點，與它相關聯的邊稱作懸掛邊。度為偶數（奇數）的頂點稱作偶度（奇度）頂點。
1.5設G=<V1,E1>,G2=<V2,E2>為兩個無向圖（兩個有向圖），若存在雙射函數f：V1→V2，使得∀vi,vj∈V1,(vi,vj)∈E1當且僅當(f(vi),f(vj))∈E2(<vi,vj>∈E1當且僅當<vi,vj>∈E2)，並且(vi,vj)與(f(vi),f(vj))(<vi,vj>與<f(vi),f(vj)>的重數相同，則稱G1與G2同構，記作G1≅G2。
注意：≅是等價關系，具有自反性、對稱性和傳遞性。至今都沒有找到判斷兩個圖是否同構的便於檢查的充分必要條件。顯然階數相同、邊數相同、度數列相同等都是必要條件，但都不是充分條件。
1.6（1）設G為n階無向簡單圖，若G中每個頂點均與其余的n-1個頂點相鄰，則稱G為n階無向完全圖，簡稱為n階完全圖，記作Kn(n≥1)。
（2）設D為n階有向簡單圖，若D中每個頂點均與其余的n-1個頂點相鄰，則稱D為n階有向完全圖。
（3）設D為n階有向簡單圖，若D的基圖為n階無向完全圖Kn，則稱D為n階競賽圖。
結論：n階無向完全圖邊數為
，n階有向完全圖邊數為n(n-1)，n階競賽圖的邊數
。
1.7設G=<V,E>，G'=<V',E'>為兩個圖（同為無向圖或同為有向圖），若V'⊆V且E’⊆E，則稱G‘為G的子圖，G為G‘的母圖，記作G‘⊆G。又若V'⊂V或E’⊂E，則稱G‘為G的真子圖。若V'=V，則稱G’為G的生成子圖。
設G=<V,E>，V1⊂V且V1≠∅，稱以V1為頂點集，以G中兩個端點都在V1中的邊組成邊集E1的圖為G的V1導出的子圖，記作G[V1]。又設E1⊂E且E1≠∅，稱以E1為邊集，以E1中邊關聯的頂點為頂點集V1的圖為G的E1導出的子圖，記作G[E1]。
1.8設G=<V,E>為n階無向簡單圖，令E*={(u,v)|u∈VΛv∈VΛu≠vΛ(u,v)∉E}，稱G*=<V,G*>為G的補圖。若G≅G*，則稱G為自補圖。
2.握手定理：
2.1在任何無向圖中，所有頂點的度數之和等於邊數的2倍。
2.2在任何有向圖中，所有頂點的度數之和等於邊數的2倍；所有頂點的入度之和等於所有頂點的出度之和，都等於邊數。
推論：任何圖（無向圖或有向圖）中，奇度頂點的個數是偶數。
3.通路與回路：
3.1設G= (P,L)是圖，v,v'是G中兩點。如果(1)v0=v,vn=v'(2)vi與vi+1相鄰，0≤i≤n。則由G中點組成的序列(v0,v1,....vn) 稱為從v到v'的長度為n的路。這里 v, v'是圖G中未必不同的兩點，v0,v1,....vn中也允許有重復。
3.2設G = (P,L)是圖，如果(1)v0,....vn-1互不相同(2)v1,....vn互不相同。則(v0,v1,.....vn) 是 G 中從v0到vn的路， 稱此路為簡單路。顯然，一條簡單通路(v0,v1,.....vn)，除v0與vn可以相同外，其他任意兩點都不相同。
3.3設G=(P,L)是圖，G中從點v到自身的長度不小千3的簡單路，稱為回路。顯然，一個圖G是連通的，當且僅當G中任意兩點都是相連的。
參考資料：離散數學第二版（屈婉玲） 離散數學結構第二版（歐陽丹彤）