復指數信號
現實生活中的信號一般可以看作是一個正弦波$f(t)=sin(\omega t)$
復指數信號是把信號在復數域進行表示，將三角函數轉換為指數形式（利用歐拉公式）
復信號可以看作是一個在空間隨時間螺旋上升的信號，但實信號只表達了他的幅值大小。
用復信號表示實信號的公式：$cos(2\pi f_0t)=\frac{e^{j2\pi f_0t}+e^{-2\pi f_0t}}{2}$
實信號包含於復信號，可以用復信號來表示。現實生活中我們處理的都是實信號，傅里葉變換中之所以選用了復信號，而不是實的正弦信號，是因為用復信號的表示形式處理起來更簡單。
連續域復指數信號具有以下性質：
- 周期性：$e^{j\omega t}=e^{j\omega(t+k\frac{2\pi}{\omega})}$
- $\omega$越大，信號頻率越快
- 對任意$|\omega_1|\neq|\omega_2|$，信號$e^{j\omega_1t},e^{j\omega_2t}$相互正交
離散域復指數信號具有一下性質：
- 僅在$\Omega/2\pi$為有理數時，表現周期性
- 但當$\Omega$為自變量時，有周期性
傅里葉變換
傅里葉變換是用來表示連續時間域中的非周期信號的。
$x(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}X(\omega)e^{j\omega t}d\omega$，$X(\omega)$為基信號的加權系數
在歐幾里得空間中，一個向量可以表示為基向量之和。
同樣，在信號空間中，向量也可以表示為基向量之和，也就是傅里葉變換的形式。
由於連續域復指數信號當$\omega$不同時，就會有不同的基信號，基信號的數量是無窮的。因此需要采用積分來表示
可以用傅里葉變換進行表示的信號需要滿足迪利克雷條件：
-
在任一有限區間內，連續或只有有限個第一類間斷點；
-
在任一有限區間內，極大值和極小值的數目應是有限個；
- 在任一有限區間內，信號是絕對可積的。（說明信號能量是有限的）
傅里葉級數
傅里葉級數用於表示周期性的信號。
連續：$x(t)=x(t+kT_0)$
其基信號為$e^{jk\omega_0t},(k=0, \pm1,\pm2,...)(\omega_0=2\pi/T_0)$
對應的傅里葉級數為$a_k=\frac{1}{T}\int_{T_0}x(t)e^{-jk\omega_0t}dt$
相應的迪利克雷條件中任一有限區間內改為任一周期內
離散：$x[n]=x[n+N]$
為滿足離散域中的周期性，$\omega/2\pi$需為有理數。因此基向量可取N個取值，即$e^{jk\frac{2\pi}{N}n}$,$k$為任意$N$個連續整數
對應的傅里葉級數為$a_k=\frac{1}{N}\sum_{n=<N>}x[n]e^{-jk\frac{2\pi}{N}n}$
基信號總結
| 周期性 | 非周期性 | |
| 連續 | $e^{jk\omega_0t}$ | $e^{j\omega t}$ |
| 離散 | $e^{jk\frac{2\pi}{N}n}$ | $e^{j\Omega n}$ |
離散傅里葉變換DFT
現實中處理的一般為有限區間的非周期的離散信號$x[n]$，當$n>N_1$時$x[n]=0$
對這類信號首先構造一個周期為$N(N>N_1)$的信號$\tilde{x}[n]$，$\tilde{x}[n]=x[n](0\leq n\leq N)$
通過傅里葉變換，可以得到信號的頻率成分，從而排除噪音（因為噪音頻率的值一般不高）
參考：