复指数信号
现实生活中的信号一般可以看作是一个正弦波$f(t)=sin(\omega t)$
复指数信号是把信号在复数域进行表示，将三角函数转换为指数形式（利用欧拉公式）
复信号可以看作是一个在空间随时间螺旋上升的信号，但实信号只表达了他的幅值大小。
用复信号表示实信号的公式：$cos(2\pi f_0t)=\frac{e^{j2\pi f_0t}+e^{-2\pi f_0t}}{2}$
实信号包含于复信号，可以用复信号来表示。现实生活中我们处理的都是实信号，傅里叶变换中之所以选用了复信号，而不是实的正弦信号，是因为用复信号的表示形式处理起来更简单。
连续域复指数信号具有以下性质：
- 周期性：$e^{j\omega t}=e^{j\omega(t+k\frac{2\pi}{\omega})}$
- $\omega$越大，信号频率越快
- 对任意$|\omega_1|\neq|\omega_2|$，信号$e^{j\omega_1t},e^{j\omega_2t}$相互正交
离散域复指数信号具有一下性质：
- 仅在$\Omega/2\pi$为有理数时，表现周期性
- 但当$\Omega$为自变量时，有周期性
傅里叶变换
傅里叶变换是用来表示连续时间域中的非周期信号的。
$x(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}X(\omega)e^{j\omega t}d\omega$，$X(\omega)$为基信号的加权系数
在欧几里得空间中，一个向量可以表示为基向量之和。
同样，在信号空间中，向量也可以表示为基向量之和，也就是傅里叶变换的形式。
由于连续域复指数信号当$\omega$不同时，就会有不同的基信号，基信号的数量是无穷的。因此需要采用积分来表示
可以用傅里叶变换进行表示的信号需要满足迪利克雷条件：
-
在任一有限区间内，连续或只有有限个第一类间断点；
-
在任一有限区间内，极大值和极小值的数目应是有限个；
- 在任一有限区间内，信号是绝对可积的。（说明信号能量是有限的）
傅里叶级数
傅里叶级数用于表示周期性的信号。
连续：$x(t)=x(t+kT_0)$
其基信号为$e^{jk\omega_0t},(k=0, \pm1,\pm2,...)(\omega_0=2\pi/T_0)$
对应的傅里叶级数为$a_k=\frac{1}{T}\int_{T_0}x(t)e^{-jk\omega_0t}dt$
相应的迪利克雷条件中任一有限区间内改为任一周期内
离散：$x[n]=x[n+N]$
为满足离散域中的周期性，$\omega/2\pi$需为有理数。因此基向量可取N个取值，即$e^{jk\frac{2\pi}{N}n}$,$k$为任意$N$个连续整数
对应的傅里叶级数为$a_k=\frac{1}{N}\sum_{n=<N>}x[n]e^{-jk\frac{2\pi}{N}n}$
基信号总结
| 周期性 | 非周期性 | |
| 连续 | $e^{jk\omega_0t}$ | $e^{j\omega t}$ |
| 离散 | $e^{jk\frac{2\pi}{N}n}$ | $e^{j\Omega n}$ |
离散傅里叶变换DFT
现实中处理的一般为有限区间的非周期的离散信号$x[n]$，当$n>N_1$时$x[n]=0$
对这类信号首先构造一个周期为$N(N>N_1)$的信号$\tilde{x}[n]$，$\tilde{x}[n]=x[n](0\leq n\leq N)$
通过傅里叶变换，可以得到信号的频率成分，从而排除噪音（因为噪音频率的值一般不高）
参考：