題目：要傳輸一則報文內容如下：
“AAAAAAAAAAAAAAABBBBBBBBBCCCCCCCCDDDDDDDDDDDDEEEEEEEEEEFFFFF”
請為這段報文設計哈夫曼編碼，要求如下：
- 請計算出每個字符出現的概率，並以概率為權重來構造哈夫曼樹，寫出構造過程、畫出最終的哈夫曼樹，得到每個字符的哈夫曼編碼。
- 請將上述設計哈夫曼編碼的過程，用代碼來實現，並輸出各個字母的哈夫曼編碼。（有代碼，有運行結果的截圖）
- 請分析算法的效率，至少包括時間復雜度和空間復雜度等。
一、構造過程
① 統計可知，字符串全長共59個字符，其中字符‘A’-‘F’的出現頻數及對應概率（保留兩位小數）如圖所示：
②將每個字符出現概率作為權重，則對於上述給定的6個權值{25，15，14，20，17，9}，依次構造6棵只有根節點的二叉樹，共同構成森林F；
③在森林F中，選取權重最小和次小的兩顆樹，分別作為新二叉樹的左子樹、右子樹，且該樹根節點權值賦左右子樹權值之和；
④從森林F中刪除已選中的兩棵子樹，把新得到的二叉樹加入F中；
⑤重復③④，直到森林F中僅留下一棵樹時，得到最終的哈夫曼樹HF如圖所示：
⑥對上述哈夫曼樹，將其樹中的每個左分支賦0、右分支賦1，則從根結點開始到葉子結點，各分支路徑分別得到對應的二進制串，即為給定的每個字符的哈夫曼編碼。
二、代碼實現
編譯環境：Visual Studio 2019 16.6.3，代碼如下：
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
#define N 6 //指定的編碼字符數
#define M (2 * N - 1) //HT結點數
#define MAXWEIGHT 100
typedef struct { //哈夫曼樹的存儲表示
int weight;
int parent, lchild, rchild;
}HTNode;
typedef HTNode HuffmanTree[M + 1];
typedef char* HuffmanCode[N + 1]; //哈夫曼編碼表
void Select(HuffmanTree HT, int n, int& s1, int& s2);
void CreateHuffmanTree(HuffmanTree& HT, int* w, int n);
void CreateHuffmanCode(HuffmanTree HT, HuffmanCode& HC);
void PrintHC(HuffmanCode HC, char ch[]);
int main() {
HuffmanTree HT;
HuffmanCode HC;
int w[N + 1];
char ch[N + 1];
printf("Please input %d characters & its weight(e.g. A 25):\n", N);
for (int i = 1; i <= N; i++) {
scanf("%c %d", &ch[i], &w[i]);
getchar();
}
CreateHuffmanTree(HT, w, N);
CreateHuffmanCode(HT, HC);
PrintHC(HC, ch);
return 0;
}
void Select(HuffmanTree HT, int n, int& s1, int& s2) {
int i, min = 0, temp = MAXWEIGHT;
for (i = 1; i <= n; i++) {
if (!HT[i].parent) {
if (temp > HT[i].weight) {
temp = HT[i].weight;
min = i; //最小值作為新樹左子樹
}
}
}
s1 = min;
for (i = 1, min = 0, temp = MAXWEIGHT; i <= n; i++) {
if ((!HT[i].parent) && i != s1) {
if (temp > HT[i].weight) {
temp = HT[i].weight;
min = i; //次小值作為新樹右子樹
}
}
}
s2 = min;
}
void CreateHuffmanTree(HuffmanTree& HT, int* w, int n) { //創建哈夫曼樹HT
int i, s1, s2;
if (n <= 1) return; //樹為空或僅有根節點
for (i = 1; i <= M; ++i) { //初始化
HT[i].weight = w[i];
HT[i].parent = 0;
HT[i].lchild = 0;
HT[i].rchild = 0;
}
for (i = n + 1; i <= M; ++i) { //創建新二叉樹
Select(HT, i - 1, s1, s2);
HT[s1].parent = i;
HT[s2].parent = i;
HT[i].lchild = s1;
HT[i].rchild = s2;
HT[i].weight = HT[s1].weight + HT[s2].weight;
}
}
void CreateHuffmanCode(HuffmanTree HT, HuffmanCode& HC) {
int i, start, c, f;
char cd[N];
cd[N - 1] = '\0'; //編碼結束符
for (i = 1; i <= N; i++) { //對於第i個待編碼字符即第i個帶權值的葉子節點
start = N - 1; //開始start指向結束符位置
c = i;
f = HT[i].parent; //f指向當前結點的雙親
while (f) { //從葉上溯，到根節點跳出
if (HT[f].lchild == c)
cd[--start] = '0'; //左孩子
else
cd[--start] = '1'; //右孩子
c = f;
f = HT[f].parent;
}
HC[i] = new char[N - start];
strcpy(HC[i], &cd[start]); //復制結果到編碼表，用於輸出
}
}
void PrintHC(HuffmanCode HC, char ch[]) { //打印哈夫曼編碼表
for (int i = 1; i <= N; i++)
printf("\n%c: %s\n", ch[i], HC[i]);
}
輸出各個字母的哈夫曼編碼：
三、算法分析
1、哈夫曼編碼是最優前綴編碼：對包括N個字符的數據文件，分別以它們的出現概率構造哈夫曼樹，利用該樹對應的哈夫曼編碼對報文進行編碼，得到壓縮后的最短二進制編碼；
2、算法自底而上地構造出對應最優編碼的二叉樹HT，它從n個葉子結點開始，識別出最低權重的兩個對象，並將其合並；當合並時，新對象的權重設置為原兩個對象權值之和，一共執行了|n| - 1次合並操作；
3、是貪心算法：每次選擇均為當下的最優選擇，通過合並來構造最優樹得到對應的哈夫曼編碼；
4、復雜度：
①時間復雜度：有n個終端節點，構成的哈夫曼樹總共有2n-1個節點，Select函數的時間復雜度為O(n)，嵌套for循環，因此建立哈夫曼樹的時間復雜度為O(n^2)， 創建哈弗曼編碼表的時間復雜度為O(n^2)；
②空間復雜度：算法中臨時占用存儲空間大小與初始森林F中樹的個數n線性相關，n越大問題規模也越大，其耗費的空間復雜度為O(n)。