FIRST集合、FOLLOW集合及LL(1)文法求法

FIRST集合

定義

可從α推導得到的串的首符號的集合，其中α是任意的文法符號串。

規則

計算文法符號 X 的 FIRST(X)，不斷運用以下規則直到沒有新終結符號或 ε可以被加入為止 ：

（1）如果 X 是一個終結符號，那么 FIRST(X) = X。

（2）如果 X 是一個非終結符號，且 X ->Y₁ Y₂ … Y_k是一個產生式，其中 k≥1，那么如果對於某個i，a在 FIRST(Y₁）、FIRST(Y₂）… FIRST(Y_i-1）中，就把a加入到 FIRST(X) 中。

（3）如果 X ->ε是一個產生式，那么將ε加入到 FIRST(X)中。

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以上是書上的官方規則，不僅讀起來很拗口，理解也很累。

下面看一下精簡版的規則（從別人 @櫻草書 那里看來的，感覺很棒，這里引用一下）：
（1）如果X是終結符，則FIRST(X) = { X } 。
（2）如果X是非終結符，且有產生式形如X → a…，則FIRST( X ) = { a }。
（3） 如果X是非終結符，且有產生式形如X → ABCdEF…（A、B、C均屬於非終結符且包含 ε，d為終結符），需要把FIRST( A )、FIRST( B )、FIRST( C )、FIRST( d )加入到 FIRST( X ) 中。
（4）如果X經過一步或多步推導出空字符ε，將ε加入FIRST( X )。

實踐

記得，曾經有人說過：

只讀，就會白給

下面以這個文法為例講解一波，會用精簡版規則，更容易理解一些：

E -> T E'
E' -> + T E' | ε
T -> F T'
T' -> * F T' | ε
F -> ( E ) | id

   
   
  
  
          

  
  
 
 
         

1. FIRST(E) = FIRST(T) 根據規則3，很容易理解，這里要注意的由於T不含ε，所以遍歷到T就停止了，E’不會加入進來
2. FIRST(E’) = FIRST(+) ∪ FIRST(ε)= { +, ε } 根據規則2和4，,很好理解
3. FIRST(T) = FIRST(F) 根據規則3，和第一條推導過程一樣
4. FIRST(T’) = FIRST() ∪ FIRST(ε)= { , ε } 根據規則2和4，和第二條推導一樣
5. FIRST(F) = FIRST( ( ) ∪ FIRST(id)= { ( , id } 根據規則2

結果：

FIRST(E) = FIRST(T) = FIRST(F) = { ( , id }
FIRST(E') = FIRST(+) ∪ FIRST(ε)= { + ,  ε }
FIRST(E') = FIRST(*) ∪ FIRST(ε)= { * ,  ε }

   
   
  
  
          

  
  
 
 
         

FOLLOW集合

定義

對於非終結符號A，FOLLOW（A） 被定義為可能在某些句型中緊跟在A右邊的終結符號集合。

規則

計算文法符號 X 的 FOLLOW(X) ，不斷運用以下規則直到沒有新終結符號可以被加入任意FOLLOW集合為止 ：

（1）將$加入到FOLLOW(X)中，其中S是開始符號，而$是輸出右端的結束標記。

（2）如果存在一個產生式S->αXβ，那么將集合FIRST(β)中除ε外的所有元素加入到FOLLOW(X)當中。

（3）如果存在一個產生式 S->αX , 或者S->αXβ且FIRST(β)中包含ε , 那么將集合FOLLOW(S)中的所有元素加入到集合FOLLOW(X)中。

實踐

還是用之前的例子來做

E -> T E'
E' -> + T E' | ε
T -> F T'
T' -> * F T' | ε
F -> ( E ) | id

   
   
  
  
          

  
  
 
 
         

1. FOLLOW(E) ，根據規則1，首先把$加入進來，根據規則2，可以得出 FOLLOW(E) = { ) , $ }
2. FOLLOW(E’) = FOLLOW(E) = { ) , $ } 根據規則3
3. FOLLOW(T) = FIRST(E’) ∪ FOLLOW(E) = { + , ) , $ } 根據規則2
4. FOLLOW(T’) = FOLLOW(T) = { + , ) , $ } 根據規則3
5. FOLLOW(F) = FOLLOW(T) ∪ FIRST(T’) = { * , + , ) , $ } 根據規則2和3

結果：

FOLLOW(E) = FOLLOW(E') = { ) , $ }
FOLLOW(T) = FOLLOW(T') = { + , ) , $ }
FOLLOW(F) = { * , + , ) , $ }

   
   
  
  
          

  
  
 
 
         

LL(1)文法

解釋

LL(1) 中第一個“L”表示從左向右掃描輸入，第二個“L”表示產生最左推導，而“1”表示在每一步中只需要向前看一個輸入符號來決定語法分析動作。

定義

對於文法LL(1)文法G，當且僅當G的任意兩個不同產生式 A -> α | β
（1）不存在終結符號a使得α和β都能推導出以a開頭的串。
（2）α和β中最多只有一個可以推導出空串。
（3）如果 β=》ε ，那么α不能推導出任何以FOLLOW(A)中某個終結符號開頭的串。

可能很多人看的雲里霧里，解釋一下：
（1）和（2）意思是α和β的FIRST集合相交。（3）是指如果FIRST(α)中有 ε，那么FIRST(β)和FOLLOW(A)是不相交的集合，反之一樣。

預測分析表的構建

方法：
對於文法G的每個產生式 A->α ，進行如下處理
（1）對於FIRST(α)中每個終結符號a，將 A->α 加入到 M[A,a] 中。
（2）如果 ε在FIRST(α)中，那么對於FOLLOW(A)中每個終結符號b，將 A->α 加入到 M[A,b] 中。如果 ε在FIRST(α)，且$在FOLLOW(A)中，也將 A->α 加入到 M[A,$] 中。

還是以之前的例子示例

E -> T E'
E' -> + T E' | ε
T -> F T'
T' -> * F T' | ε
F -> ( E ) | id

   
   
  
  
          

  
  
 
 
         

1.先求FIRST和FOLLOW集合：

FIRST(E) = FIRST(T) = FIRST(F) = { ( , id }
FIRST(E') = FIRST(+) ∪ FIRST(ε)= { + ,  ε }
FIRST(T') = FIRST(*) ∪ FIRST(ε)= { * ,  ε }
FOLLOW(E) = FOLLOW(E') = { ) , $ }
FOLLOW(T) = FOLLOW(T') = { + , ) , $ }
FOLLOW(F) = { * , + , ) , $ }

   
   
  
  
          

  
  
 
 
         

2.然后構建一個這樣的表

3.然后依次填入非終結符號

4.按照規則1填寫其余內容

5.按照規則2填寫內容

至此整個構建全部完成

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