ZJOI2020

[ZJOI2015] 地震后的幻想鄉

給定一個無向圖 \(G\) ，\(n\) 個點 \(m\) 條邊每條邊權為 \([0,1]\) 的隨機實數，求這張圖的最小生成樹的最大邊權期望。

\(1\le n\le 10,1\le m\le \frac{n(n-1)}{2}\) 。

Solution

引理 \(1\) ：

\(n\) 個 \([0,1]\) 隨機變量 $x_1,\cdots,x_n $ ，第 \(k\) 小的期望值是 \(\frac{k}{n+1}\)
證明：枚舉第 \(k\) 小值為 \(x\) ：\(\binom{n}{k}\int_0^1x \cdot x^{k-1}\cdot (1-x)^{n-k} dx=\frac{k}{n+1}\) 。

暴力枚舉 \(m\) 條邊的相對大小關系，套引理即可做到 \(\mathcal O(m!poly(n))\) 。

考慮狀壓 dp ，定義 \(f_{S,i},g_{S,i}\) 表示點集 \(S\) ，用了 \(i\) 條邊，且點集不連通/連通的方案數，\(d_{S}\) 表示點集 \(S\) 導出子圖的邊數。

考慮 \(f\) 的轉移，我們枚舉一個連通塊（不妨是 \(lowbit(S)\) 所屬的那個塊），其他的點之間任意連邊，則： \(f_{S,i}=\sum\limits_{lowbit(S) \in T\subset S}\sum\limits_{j=0}^{|d_T|}g_{T,j}\binom{|d_{S-T}|}{i-j}\)

注意到 加了 i 條邊恰好連通概率 = 加之前不連通概率 - 加之后不連通概率 ，因此答案為：

\[\sum_{k=1}^{m}\frac{k}{m+1}\cdot \left(\frac{f_{U,k-1}}{\binom{|d_U|}{k-1}}-\frac{f_{U,k}}{\binom{|d_{U}|}{k}}\right)\\\begin{aligned}=\frac{1}{m+1}\sum_{k=0}^{m}\frac{f_{U,k}}{\binom{|d_{U}|}{k}}\end{aligned} \]

時間復雜度 \(\mathcal O(3^nm)\) 。

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Day1

T1

給定一個由字符 \(\text{'a', 'b'}\) 構成的字符串 \(str\) 。
一個串為好串的定義是：串長為偶數，且左右兩半相等。比如說 \(abcdeabcde\) 就是好串。
有 \(q\) 次詢問，詢問區間 \([l,r]\) 內有多少個本質不同的好串（也就是一模一樣的好串只算 \(1\) 次）。
\(1\le n,q\le 2\times 10^5\)

T2

給定一顆廣義線段樹，讀入按中序遍歷的方式告訴你每根線段 \([l,r]\) 的 \(mid\) 值。
你需要執行 \(k\) 次 選區間 操作，每次等概率選擇一個區間 \([ql, qr]\) 滿足 \(1\le ql\le qr\le n\) ，並且相應在線段樹上打懶標記。
對於每個區間 \([ql, qr]\)，執行 \(\text{modify(1, 1, n, ql, qr)}\) ：

void pushdown(int u) {
  if (tag[u]) {
    tag[lson[u]] = 1;
    tag[rson[u]] = 1;
    tag[u] = 0;
  }
}
void modify(int u, int l, int r, int ql, int qr) {
  if ([l, r] ∩ [ql, qr] = 空集) return ;
  if (ql <= l && r <= qr) {
    tag[u] = 1;
    return ;
  }
  int mid = 讀入的 mid 值;
  pushdown(u);
  if (ql <= mid) modify(lson[u], l, mid, ql, qr);
  if (qr > mid) modify(rson[u], mid + 1, r, ql, qr); 
}

請求出期望下線段樹中 \(tag\) 值為 \(1\) 的線段的個數。
\(n\) 在 \(10^5\) 級別， \(1\le k\le 10^9\) 。

T3

給定一個長度為 \(n\) 的序列 \(a_1,a_2,...,a_n\)，你可以執行以下三種操作：

• 選擇一個區間 \([l,r]\) ，讓區間內的數全減 \(1\)
• 選擇一個區間 \([l,r]\) ，讓區間內下標是奇數的數全減 \(1\)
• 選擇一個區間 \([l,r]\) ，讓區間內下標是偶數的數全減 \(1\)

你需要最小化你的操作次數，使得所有數變成 \(0\) 。

Day2

T1

\(Alice\) 和 \(Bob\) 在 樹/基環樹 上的游戲。。。
題面有點長，咕咕

T2

給定 \(n\) 個數 \(a_1,a_2,...,a_n\) ，每次等概率選擇一個數（選過的數下次可能還會被選）。
問期望下取多少次數，才能出現 \(k\) 個連續的數（也就是滿足 \(a_{i_1},a_{i_2},a_{i_3},...\) 依次 \(+1\)）？
\(1\le n\le 2\times 10^5, 1\le a_i\le 10^9\)（好像）

T3

給定 \(n\) 個方程組，參數 \(a_i,c_i\)。

\[\begin{cases}a_1 \times x + p_1 \equiv c_1 (mod\ p) \\ a_2 \times x + p_2 \equiv c_2 (mod\ p) \\ ... \\ a_n\times x + p_n \equiv c_n (mod\ p) \end{cases} \]

給出一個擾動 \(err\) ，每個 \(p_i\) 均為 \([\lceil - \frac{err}{2} \rceil, \lceil \frac{err}{2} \rceil]\) 內隨機的一個數。
你需要找到一個 \(x\) ，使得它滿足上述所有條件。
數據保證有且僅有一個 \(x\) 滿足條件。
\(n=2000, 1\le a_i,c_i,p\le 10^{18}\)
如果要用 \(\text{__int128}\) ，請手寫。