亂聽課記錄
關於樹的分治問題&雜題選講 張哲宇
邊分治
（邊分不是很雞肋嗎）
例題一
題目大意：給出兩顆有正負邊權的樹，求出兩個點\(u,v\)使得兩棵樹中\((u,v)\)距離的和最大。\(n \le 10^5\).
點分治
例題二
題目大意：\(n\)個點的樹，每個點有非負點權，求權值第\(k\)大的聯通塊。\(n,k \le 10^5\).
考慮點分治，對於每一個分治中心，進行的點分相當於多了一個“強制選該分治中心”的限制。
對於每一層的分治，我們dfs重標號，那么對於第\(i\)個點有兩種決策：選點\(i\)，那就繼續考慮dfs序為\(i+1\)點的決策；不選點\(i\)，則跳到dfs序為\(i\)子樹的后一個點。如上的轉化相當於把一個連通塊轉化成了一條路徑，因此第\(k\)大連通塊問題就變成了經典\(k\)短路問題（但是並不清楚在每層分治都做這個\(k\)短路的復雜度是怎樣的）
例題三（例題一）
題目大意：參見例題一
突然，掉線。
聽說點分做法“實質上”就是邊分。
例題四
題目大意：給出\(n\)個點的有根樹，每個節點上有一個一次多項式，求每個節點到根的多項式乘積的和。\(n \le 10^5\).
大致就是在一層層的點分中心上跳，感覺可能類似codechef Yet Another Tree Problem
全局平衡二叉樹
zzy的全局平衡二叉樹講跟沒講一個樣。
還是去看tls寫的吧基於變換合並的樹上動態DP的鏈分治算法和全局平衡二叉樹學習筆記
例題五（例題四）
（這個用全局平衡二叉樹怎么做？）
All Last
題目大意：給出一顆\(n\)個點的有根樹，\(q\)次詢問距離點\(p\)距離\(\le d\)且不在路徑\(u-v\)上的點權\(\max\).\(n,q \le 10^5\).
例題六
題目大意：一顆有根樹，每個節點有二維坐標\((x,y)\)。動態加入一個葉子\(v\)，並詢問\(v\)到根路徑上，與\(v\)的\(dis \in [l,r]\)的所有節點形成的凸包與斜率為\(k\)的直線的切點。
怎么突然放b站鬼畜了？？？計算鴨海星
推銷Marp
FJWC2019選講
雜題一
題目大意：要求\(O(1)\)回答是否存在\(n\)個點允許有重邊不能有自環且弱連通的流網絡，滿足流量平衡且流量為\(1\)的邊有\(a\)條，流量為\(2\)的邊有\(b\)條，不存在其他流量的邊。\(n \ge 2\).
標算：分類討論
雜題二
打表題，zzy直接跳了。
雜題三
題目大意：初始有一個根，強制在線加葉子，要求每次加葉子之后輸出當前樹的權值。定義一顆樹的權值為交換兩顆互不為祖先的子樹后的最大直徑。\(n \le 5\times10^5\).
mine：處理根的子樹深度最大、次大、第三大的深度，每次把第三大的子樹嫁接給次大的最后一個節點。
上面這個做法有點小問題，因為嫁接的第三大子樹不一定要是根的直接子樹，所以選擇的應當是一個“三叉戟”的形態，使得選取的邊數最多。
雜題四
題目大意：構造一個恰有\(k\)條直徑的邊權非負的樹，使用點數\(\le 5000\)，\(k\le 5000000\).
先從若干個菊花相接的情形開始考慮。
雜題五
題目大意：有一顆\(n\)個點的樹，每次可以刪除一個度數在\([L,R]\)之間的點然后得到\(a_i\)的貢獻，要求最大化貢獻之和。
dp
雜題六
有\(10^4\)個棧，棧頂元素是\(s_i\)，要求和spj玩游戲：選手每次選擇一個數\(x\)，spj返回一個操作$\le / \ge \(，並把所有滿足\)s_i \text{ opt } x\(的棧頂元素彈出並返回新的\)s_i$。要求在\(50\)次內清空所有棧。
一種顯然的想法是每次取中位數，但是這個做法非常容易卡。問題出在剩余元素不同的棧應當賦不同的優先值。
（然后我也不知道怎么就）對於大小為\(x\)的棧構造指數權函數\(w(x)=p^x\)，操作次數近似\(\frac{\ln(n\times p^k)}{\ln \frac{2p}{p+1}}\)。取\(p=4\)時最大操作次數為\(49\).
雜題七
題目來源：#2392. 「JOISC 2017 Day 1」煙花棒
這個題去年講過的呀，怎么又搬出來講……
等等我怎么還沒做掉。
雜題八
題目大意：\(n\)個點，\(m\)條邊的無向圖，每個點有權值\(a_i\)，求一條\(1\)到\(n\)的路徑，最小化路徑權值從大到小排序后的字典序。\(n \le 10^5,m \le 5\times 10^5\).
排序之后字典序最小相當於比較權值的桶的字典序大小。
雜題九
（zzy說題目有點難。於是看完題直接跳了）
雜題十
題目大意：給定一個點仙人掌，邊權為\(1\)，求最短路長度為\(i\)的點對個數。
樹的情況應該是個經典點分FFT問題。
這里是縮點點分；然后對於點分中心為環的情況，再分治處理？
1/2雜題選講 高嘉煊Samjia
Incremental Double Free Strings
題目大意：給出整數\(n\)滿足\(1\le n\le 26\)，定義一個長度為\(n(n+1)\over 2\)的字符串是合法的，當且僅當滿足以下三個條件：
-
所有字符都是小寫字符
-
不存在兩個相鄰相同字符
-
對\(i=1\cdots n\)，總存在一個字符\(c\)在串中出現了\(i\)次
給出\(n,k\)，求所有合法字符串中字典序第\(k\)小的。\(k \le 10^{18}\).
CHEFKC
題目大意：求帶權有向圖的第\(k\)小割。\(n \le 77,m,k\le 777\)
題目來源：Chef and Cut
依舊是k短路題，考慮一個狀態\((i,p[])\)表示考慮前\(i\)個數，每個數在\(S\)集合內或\(T\)集合內的割大小。那么從初始狀態\((0,[])\)開始拓展。
好像有一種比講課人更優的做法。
以上這個做法每次拓展的步長為1，那么不僅時間效率低，空間開銷也有相當多是不必要的。
考慮從每一個完整狀態開始A*。首先不做任何限制，僅僅跑一趟最小割，然后以這個最小割的狀態作為初始狀態。對於每一次對最優狀態\(\text{ sta }\)轉移調整到\(\text{ nxt }\)，枚舉一個\(len\)表示\(\text{ nxt }\)前\(len\)位完全固定，然后從\(\text{ sta }\)中繼承前\(len-1\)位並將\(len\)取反。這個轉移是為了確保不重不漏，且按照權值順序經過所有狀態。
這可能是算是一個A*的處理技巧吧，但是不一定通用。有些時候從完整狀態為保證按權值順序經過所有狀態可能比較困難。
這里是寫的題解：【A* 網絡流】codechef Chef and Cut
Spoonerisms
題目大意：給出\(n\)個字符串，要求選出其中四個記為\(A,B,C,D\)，使得存在非空的字符串\(p,q,r,s\)滿足\(A=pq,B=rs,C=rq,D=ps\)，其中\(r\not= p,q\not= s\)。\(\sum |S | \le 500000\).
（聽說標算鍋了？然后zzq神仙提供了\(O(n\sqrt n)\)的“標算”）
問題轉為求四元環，但是復雜度是\(O(n\sqrt n)\)的。
cf1146H Satanic Panic
題目來源：H. Satanic Panic
dp+計算幾何
Chopping hands
水題選講 鍾子謙
Complete The Graph
題目來源：cf Round #372 1b 加強
題目大意：有一張\(n\)個點\(m\)條邊的簡單正權無向圖，\(S\)到\(T\)的最短路為\(L\)，現在有一些邊的邊權未知，請輸出任意一種方案。\(n,m\le 500000\).
對於每一條邊權未定的邊，把它的邊權先設為1。然后考慮首先處理出\(dist_i\)表示在如上初始化的情況下，\(T\)到\(i\)的最短路距離。之后再從\(S\)開始做dij，設\(S\)到\(u\)的最短路為\(len_i\)，那么當前若以\(u\)增廣一條邊權未定的邊\((u,v)\)，就將其邊權設為\(\max\{1,L-len_u-dist_v\}\)。以上構造能夠保證問題的完全轉化。
更詳細的可以看我題解【圖論 思維】cf715B. Complete The Graph加強
One Third
題目來源：AGC032F
喂鴿子
題目來源：集訓隊作業2019加強
題目大意：有\(n\)只鴿子，每次等概率選取一只鴿子喂一粒玉米。每一只鴿子只有喂了\(k\)粒玉米才會飽。問\(n\)只鴿子都被喂飽的期望步數。
感覺好經典啊。然而不會
Mergesort Strikes Back
題目來源：Avito Cool Challenge 2018 cf1081G. Mergesort Strikes Back
Traffic Blights WF2019
題目來源：ICPC World Final 2019
Mouse
題目來源：Info(1) Cup 2019
題目大意：交互庫有一個\(1,2,\cdots n\)的排列\({p_i}\)，每次可以詢問一個排列\({q_n}\)，交互庫會返回相同的位置個數。要求還原\({p_n}\).\(n \le 256\)，詢問次數\(\le 2400\).
考慮首先隨機一個完全不同於原排列的排列\(p_i\)，再從這個排列開始“試探”。
不清楚復雜度證明。
Keep clicking,keep flipping
題目來源：IPSC2011
考慮貪心並證明。
構造題選講 楊帆
cf720c
題目大意：有一個\(n\times m\)的網格，求構造一個四連通塊（每個格子通過四個方向的邊連通），使其中大小為3的\(L\)形（可旋轉）數目恰好為\(k\)，\(n\times m \le 10^5\)。
mine：考慮矩形\(a\times b\)，那么有\(4(a-1)(b-1)\)個合法的\(L\)形。我們找一個合法\(L\)形數量接近\(k\)的矩形：對於一個角元素，它有3的貢獻；對於一個邊元素，它有6的貢獻，這樣就解決了模4下的0,1,2,3的合法性。
cf453c
cf819e
題目大意：一張\(n\)個點的完全圖，要求找到若干個三、四元環，覆蓋每條邊恰好\(2\)次。\(n\le 300\)
分奇偶討論，考慮從\(n=3\)和\(n=4\)的情形加點。
cf933e
題目大意：有一個長度為\(n\)的序列，每次可以選擇相鄰兩個數\(a,b\)將其同時減去\(\max\{a,b\}\).求操作到無法操作的最小代價。\(n \le 10^5\)
構造一個\(b_i\)表示\(i\)這個位置減去的代價。思維構造題。
cf317e
題目大意：有一無窮大的網格圖，還有點\(A,B\)和一些障礙。每次可以選擇一個方向，對於\(A,B\)如果該方向沒有障礙則向這個方向移動一步。目標是使\(A,B\)重合，要求步數\(\le 10^6\).障礙不超過\(400\)個，坐標絕對值\(\le 100\)。
首先考慮障礙為1的情況，則將\(A\)靠在障礙上，再將\(B\)移到和\(A\)的同一直線上，接下去再將\(A,B\)靠攏即可。
mine：如果\(A,B\)不連通則無解；如果\(A,B\)都與無窮遠處連通，那么就把\(A,B\)都移出來，再用邊界障礙做障礙=1的情形；如果\(A,B\)被封閉在一個障礙塊里，那么因為障礙塊的最大面積是\(100\times 100\)，就隨機\(10^4\)次，每次走\(10^2\)步。
std：找到\(A\)與\(B\)的最短路，並將\(A\)沿着這條路徑移動。如果\(A,B\)之間的距離縮短那么重復這個過程。當不能操作時，那么就找一個邊界上的障礙來做障礙=1的情況即可。
cf gym 100162e
好像是大力分類討論？
cf804e
（怎么跳了啊）
cf1053e
雜題選講 毛一琛
序列
題目大意：長度為\(n\)的序列\(A\)，求長度為\(n\)的排列\(B\)滿足\(\min \{|A_{B_i}-A_{B_{i-1}}|\}\)最大，\(n \le 10^5,A_i \le 10^9\)
當\(n\)為偶數時，有上界\(\min\limits _{i=1}^{n\over 2}\{a_{i+{n\over 2}}-a_i\}\)。
買置換
題目來源：2014集訓隊互測
（bzoj怎么沒數據啊）
打怪獸
貪心&dp&結論
BBQ加強
題目來源：AGC001E加強
考慮組合數意義，相當於是一個矩形的兩個對點路徑的方案數。
注意到這里所求的組合數意義的路徑必定經過直線\(y=-x\)，那么就\(f[i][j]\)表示第三象限所有點走到
Rational-Sums
題目來源：hackerrank Ad Infinitum18
這是推式子的數學題吧。
似乎還要一些觀察和多項式的性質。
Permanent
題目來源：cf468e
構造二分圖。（接下去沒懂）
Addition without carry
二進制給出長度為\(n\)的數組\(a\)，求一個長度同樣為\(n\)的數組\(b\)滿足：
- \(b_i \ge a_i\)
- \(b_1|b_2|\cdots b_n=\sum b_i\)
要求最小化\(\sum b_i\)，\(n \le 3\times 10^5,\sum|a_i| \le 3\times 10^5,\max\{|a_i|\} \le 3\times 10^5\).
題目來源：cf gym102154a
第二條件等價於\(b_i\)上的1互不重疊。
考慮如何暴力：貪心地從高到低位確定\(b_i\)，首先假設若第\(i\)位為0，那么使\(1\cdots i-1\)位為1檢查是否合法。
有趣的游戲
題目來源：51nod 1599
湊數題
題目大意：有一個\(n\)個點的競賽圖，其中\(k\)條邊的方向已經確定，剩下邊的方向等概率隨機。求最小環的期望個數。\(n \le 5000\).
最小環一定是三元環。\(O(n^2)\).
座位空了好多
水題選講 不知名大爺
Rikka with an unnamed temple
Square Subsequences
題目大意：給定長度為\(n\)的字符串\(S\)，求最長的"平方子序列"(一個字符串被稱為"平方串"是它可以被表示為\(AA\)的形式)。\(|S|\le 3000\).
枚舉一個斷點\(len\)，求\(S(1\cdots len)\)和\(S(len+1\cdots |S|)\)的最長公共子序列的長度。
然后標算是把求最長公共子序列的dp給壓位，復雜度\(O({n^3\over{6w}})\)……
Forests Fires
題目來源：cf1086f
芒果冰加了空氣
題目來源：北大集訓d1t3
題目大意：給出一顆\(n\)個點的樹，每次點分隨機選取連通塊內一個點作為下一層點分中心。求帶標號點分樹種類數。
mine：首先會自然想到一種naive的遞歸子問題划分，但是容易發現
\(f[i][j]\)表示對\(i\)的子樹點分，並且\(i\)在點分樹中的深度為\(j\)的方案數。
\(f'[x][i]=\sum_{j=1}^i\sum_{k=i-j}^{size[y]} f[x][j]*f[y][k]* {i-1\choose j-1}\)
tree
題目大意：給出\(n\)個點的樹，每條邊有\(int\)范圍內的邊權，\(q\)次修改更改路徑\((u,v)\)上的邊權為\(w\)，並詢問離\(1\)最遠的點的距離。
動態點分？全局平衡二叉樹？
Rikka with Data Structures
題目大意：要求維護操作
- 區間加
- 區間賦值
- 區間詢問\([L,R]\)內以\(x\)為左端點，最大值在左/右端點的區間個數。
類似樓房重建。
Epic Convolution
題目來源：cf1054h
二維fft
Diameter
題目大意：求\(n\)個點有標號直徑為\(0,\cdots n-1\)的無根樹方案數。\(n \le 500\).
很類似烷烴計數啊。
problem
題目大意：求\(n!\text{ mod } p\)，\(0 \le n < p \le 10^{12}\)。
problem2
題目大意：自然數倒數和。\(n\le 10^{12}\).
problem3
組合數 行求和。
Cutting Squares
題目來源：PE270
先dp跑出較小解，再觀察發現性質。
powerful number 在求積性函數前綴和中的應用
powerful number：每一個質因數的次數都大於等於2的數。
求積性函數前綴：\(\sum f(i)\)，如果存在積性函數\(g(i)\)滿足對於任意質數\(p\)有\(f(p)=g(p)\)，那么(據說)可以利用powerful number的性質快速求\(\sum f(i)\).
並沒有理解。