最小生成樹的Python實現

最小生成樹是指帶權無向圖中，其各邊權值和最小的生成樹。這個問題在日常生活中會廣泛遇到，如何用最小的代價把網絡中各點連接起來。

常用的算法有Kruskal，Prim，我們對這兩個典型算法進行Python實現。

 

Kruskal

Kruskal算法基於簡單連通分量的最小代價互聯。將初始圖G中各邊按權值從小到大排列成列表edges，存儲方式為 (weight, vi, vj)，每次取出一條邊，檢查其連接的兩端是否已連通，若尚未連通則將該邊加入生成樹，並修改該邊所連接的兩個連通分量的狀態，否則刪除該邊。相應的Python代碼實現如下：

def Kruskal(graph):
    vnum = graph.vertex_num()   #得到圖中點的個數
    mst, edges = [], []                
    reps = [i for i in range(vnum)]     #初始化代表元
    for vi in range(vnum):                 #收集各邊
        for vj,weight in graph.out_edges(vi):
            edges.append((weight,vi,vj))
    edges.sort()                                #將邊按權值weight從小到大排序
    for weight, vi, vj in edges:          #逐個遍歷邊，將其加入到mst中
        if reps[vi] != reps[vj]:
            mst.append((vi, vj, weight))
            repi, repj = reps[i], reps[j]
            for v in range(vnum):         #更新代表元
                if reps[v] == repj:
                    reps[v] = repi
    return mst

 

Prim

Prim算法是基於所謂的MST准則，將圖的點集分為兩部分，mst和V，依次將邊頂點分屬於兩個點集的最小權值邊加入到生成樹中，同時將V中連接的點加入到mst中，相比於Kruskal不斷將最小權值邊加入生成樹，Prim則是連續擴大最小生成樹中的點集。

相應的Python代碼實現如下：

def Prim(graph):
    vnum = graph.vertex_num()
    edges = PrioQueue((0,0,0))       #每次將新邊加入到一個優先隊列中
    mst = [None] * vnum              #用於判斷邊所連接的點是否已經遍歷過
    edge_count = 0
    while edge_count < vnum and not edges.is_empty():
        weight, vi, vj = edges.dequeue()
        if mst[vj] == None:
            edge_count += 1
            mst[vj] = (vi, weight)     
            for i,w in graph.out_edges(vj):   #將新點的出邊加入優先隊列
                if not mst[i]:
                    edges.enqueue((w, vj, i))    
    return mst