假設$A$是$m*n$矩陣，可通過證明$Ax=0$和$A^TAx=0$這兩個n元方程有相同解來證明$rank(A^TA)=rank(A)$。
(1) $Ax=0 \rightarrow A^TAx=0$，即方程$Ax=0$的解也是$A^TAx=0$的解；
(2) $A^TAx=0 \rightarrow x^TA^TAx=0 \rightarrow (Ax)^T(Ax)=0 \rightarrow Ax=0$，即方程$A^TAx=0$的解也是$Ax=0$的解。
同理可證明$rank(AA^T)=rank(A)$。