luogu P4139 上帝與集合的正確用法 |歐拉函數


題目描述

根據一些書上的記載,上帝的一次失敗的創世經歷是這樣的:

第一天, 上帝創造了一個世界的基本元素,稱做“元”。

第二天, 上帝創造了一個新的元素,稱作“α”。“α”被定義為“元”構成的集合。容易發現,一共有兩種不同的“α”。

第三天, 上帝又創造了一個新的元素,稱作“β”。“β”被定義為“α”構成的集合。容易發現,一共有四種不同的“β”。

第四天, 上帝創造了新的元素“γ”,“γ”被定義為“β”的集合。顯然,一共會有16種不同的“γ”。

如果按照這樣下去,上帝創造的第四種元素將會有65536種,第五種元素將會有2^65536種。這將會是一個天文數字。

然而,上帝並沒有預料到元素種類數的增長是如此的迅速。他想要讓世界的元素豐富起來,因此,日復一日,年復一年,他重復地創造着新的元素……

然而不久,當上帝創造出最后一種元素“θ”時,他發現這世界的元素實在是太多了,以致於世界的容量不足,無法承受。因此在這一天,上帝毀滅了世界。

至今,上帝仍記得那次失敗的創世經歷,現在他想問問你,他最后一次創造的元素“θ”一共有多少種?

上帝覺得這個數字可能過於巨大而無法表示出來,因此你只需要回答這個數對p取模后的值即可。

你可以認為上帝從“α”到“θ”一共創造了\(10^9\)次元素,或\(10^{18}\)次,或者干脆∞次。

一句話題意:

\(2^{2^{2^{\dots}}}\bmod p\)

輸入格式

第一行一個整數\(T\),表示數據個數。

接下來\(T\)行,每行一個正整數\(p\),代表你需要取模的值

輸出格式

\(T\)行,每行一個正整數,為答案對\(p\)取模后的值


轉化為子問題


#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=1e7+5;
inline int read() {
	int x=0,f=1;
	char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9') {
		if(ch=='-')f=-1;
		ch=getchar();
	}
	while(ch<='9'&&ch>='0') {
		x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';
		ch=getchar();
	}
	return x*f;
}
int phi[N];
void pre(int n){
	for(int i=1;i<=n;i++)phi[i]=i;
	for(int i=2;i<=n;i++)
	if(phi[i]==i)
	for(int j=i;j<=n;j+=i)phi[j]=phi[j]/i*(i-1);
}
inline int mul(int x,int y,int mod){
	int ans=0;
	while(y){
		if(y&1)ans=(ans+x)%mod;
		x=(x+x)%mod; y>>=1;
	}
	return ans;
}
inline int ksm(int x,int y,int mod){
	int ans=1;
	while(y){
		if(y&1)ans=mul(ans,x,mod);
		x=mul(x,x,mod); y>>=1;	
	}
	return ans;
}
int solve(int p){// 2^x mod p  == 2^(x mod phi[p]+phi[p])
	if(p==1)return 0;
	return ksm(2,solve(phi[p])+phi[p],p);
}
signed main(){
	pre(1e7);
	for(int T=read();T;T--)
	printf("%d\n",solve(read()));
}


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