歐拉函數

一：歐拉函數

歐拉函數定義：

φ(x)=x(1-1/p(1))(1-1/p(2))(1-1/p(3))(1-1/p(4))…..(1-1/p(n)) 其中p(1),p(2)…p(n)為x

的所有質因數;x是正整數; φ(1)=1(唯一和1互質的數，且小於等於1)。注意：每種質因數只有一個。

 

 

歐拉函數性質：

(1)   p^k型歐拉函數:

若N是質數p(即N=p), φ(n)= φ(p)=p-p^(k-1)=p-1。

若N是質數p的k次冪(即N=p^k)，φ(n)=p^k-p^(k-1)=(p-1)p^(k-1)。

(2)mn型歐拉函數

設n為正整數，以φ(n)表示不超過n且與n互素的正整數的個數，稱為n的歐拉函數值。若m,n互質，φ(mn)=(m-1)(n-1)=φ(m)φ(n)。

(3)特殊性質:

若n為奇數時，φ(2n)=φ(n)。

對於任何兩個互質 的正整數a,n(n>2)有:a^φ(n)=1 mod n (恆等於)此公式即 歐拉定理

當n=p 且 a與素數p互質(即:gcd(a,p)=1)則上式有: a^(p-1)=1 mod n (恆等於)此公式即 費馬小定理

 

歐拉函數模板O( n*sqrt(ai) )：

 

 

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n;

int oula(int x)
{
    int res=x;
    for(int i=2;i<=x/i;i++)
    {
        if(x%i==0)
        {
            res=res/i*(i-1);
            while(x%i==0)x/=i;
        }
    }
    if(x>1)res=res/x*(x-1);
    return res;
}

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int a;
        scanf("%d",&a);
        printf("%d\n",oula(a));
    }

    return 0;
}

 

篩法求歐拉函數模板

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1e6+100;
int n,primes[N],cnt,phi[N];　　//phi存儲每個數的歐拉函數
bool st[N];

void get_eulers(int n)
{
    phi[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(!st[i])
        {
            primes[cnt++]=i;
            phi[i]=i-1;
        }
        for(int j=0;primes[j]<=n/i;j++)
        {
            st[primes[j]*i]=1;
            if(i%primes[j]==0)
            {
                phi[primes[j]*i]=phi[i]*primes[j];
                break;
            }
            phi[primes[j]*i]=phi[i]*(primes[j]-1);
        }
    }
}

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    get_eulers(n);
    
    ll res=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)res+=phi[i];
    printf("%lld\n",res);
    
    return 0;
}