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第26章 FFT變換結果的物理意義
FFT是離散傅立葉變換的快速算法，可以將一個信號變換到頻域。有些信號在時域上是很難看出什么特征的，但是如果變換到頻域之后，就很容易看出特征了。這就是很多信號分析采用FFT變換的原因。另外，FFT可以將一個信號的頻譜提取出來，這在頻譜分析方面也是經常用的。本章節的主要內容是講解FFT變換結果的物理意義。
特別聲明：部分知識整理自網絡。
26.1 初學者重要提示
26.2 FFT變換結果的物理意義
26.3 FFT變換的頻譜泄露問題
26.4 總結
26.1 初學者重要提示
- 本章為大家介紹FFT結果的物理意義，如果之前沒有了解過，有必要了解下。
- 下個章節為大家介紹兩個重要知識點：頻譜泄露和柵欄效應，推薦學習完畢本章后看一下。
26.2 FFT變換結果的物理意義
26.2.1 理論闡釋
雖然很多人都知道FFT是什么，可以用來做什么，怎么去做，但是卻不知道FFT之后的結果是什意思、如何決定要使用多少點來做FFT。
一個模擬信號，經過ADC采樣之后，就變成了數字信號。采樣定理告訴我們，采樣頻率要大於信號頻率的兩倍（要滿足奈奎斯特采樣定律）。
采樣得到的數字信號，就可以做FFT變換了。N個采樣點，經過FFT之后，就可以得到N個點的FFT結果。為了方便進行FFT運算，通常N取2的整數次方。
假設采樣頻率為Fs，信號頻率F，采樣點數為N。那么FFT之后結果就是一個為N點的復數。每一個點就對應着一個頻率點。這個點的模值，就是該頻率值下的幅度特性。具體跟原始信號的幅度有什么關系呢？假設原始信號的峰值為A，那么FFT的結果的每個點（除了第一個點直流分量之外）的模值就是A的N/2倍。 而第一個點就是直流分量，它的模值就是直流分量的N倍。而每個點的相位呢，就是在該頻率下的信號的相位。第一個點表示直流分量（即0Hz），而最后一個點 N的再下一個點（實際上這個點是不存在的，這里是假設的第N+1個點，可以看做是將第一個點分做兩半分，另一半移到最后）則表示采樣頻率Fs，這中間被 N-1個點平均分成N等份，每個點的頻率依次增加。例如某點n所表示的頻率為：
由上面的公式可以看出，Fn所能分辨到頻率為 Fs/N，如果采樣頻率Fs為1024Hz，采樣點數為1024點，則可以分辨到1Hz。1024Hz的采樣率采樣1024點，剛好是1秒，也就是說，采樣1秒時間的信號並做FFT，則結果可以分析到1Hz，如果采樣2秒時間的信號並做FFT，則結果可以分析到0.5Hz。如果要提高頻率分辨力，則必須增加采樣點數，也即采樣時間。頻率分辨率和采樣時間是倒數關系。假設FFT之后某點n用復數a+bi表示，那么這個復數的模就是：
相位就是：
根據以上的結果，就可以計算出n點（n≠1，且n<=N/2）對應的信號的表達式為：
對於n=1點的信號，是直流分量，幅度即為A1/N。由於FFT結果的對稱性，通常我們只使用前半部分的結果，即小於采樣頻率一半的結果。
26.2.2 理論計算和Matlab實際計算結果對比
下面以一個實際的信號來做說明：
假設我們有一個信號，它含有2V的直流分量，頻率為50Hz、相位為-30度、幅度為3V的交流信號，以及一個頻率為75Hz、相位為90度、幅度為1.5V的交流信號。用數學表達式就是如下：
x = 2+3*cos(2*pi*50*t-pi*30/180)+1.5*cos(2*pi*75*t+pi*90/180)
式中cos參數為弧度，所以-30度和90度要分別換算成弧度。我們以256Hz的采樣率對這個信號進行采樣，總共采樣256點。按照我們上面的分析，Fn=(n-1)*Fs/N，我們可以知道，每兩個點之間的間距就是1Hz，第n個點的頻率就是n-1。我們的信號有3個頻率：0Hz、50Hz、75Hz，應該分別在第1個點、第51個點、第76個點上出現峰值，其它各點應該接近0。實際情況如何如下：
- 第一步：在matlab上新建.m文件，文件內容如下：
Fs = 256; % 采樣率 N = 256; % 采樣點數 n = 0:N-1; % 采樣序列 t = 0:1/Fs:1-1/Fs; % 時間序列 x = 2+3*cos(2*pi*50*t-pi*30/180)+1.5*cos(2*pi*75*t+pi*90/180) ; %原始信號 y = fft(x); %對原始信號做FFT變換 M = abs(y); %求FFT轉換結果的模值 plot(n, M); %繪制FFT轉換模值的曲線
- 第二步：運行后顯示效果如下：
- 第三步：從matlab的工作區獲得幾個關鍵點及其附近兩個點的幅值：
1點，2點，3點的數值如下：
50點，51點，52點的數值如下：
75點，76點，77點的數值如下：
按照上面說的公式，可以計算出：
直流分量為： 512/N=512/256=2；
50Hz信號的幅度為：384/(N/2)=384/(256/2)=3；
75Hz信號的幅度為：192/(N/2)=192/(256/2)=1.5。可見，從頻譜分析出來的幅度是正確的。
- 第四步：計算相位
計算相位要獲取FFT變換后相應頻率點幅值的實部和虛部，這里看第一步代碼中的y變量數值即可。
由於直流信號沒有相位可言。這里主要看50Hz的相位和75Hz的相位。
1、計算50Hz信號的相位。
y變量的第51點對應數值：332.553755053225 - 192.000000000000i
那么atan2(-192, 332.553)=-0.5236，這個結果是弧度，換算成角度180*(-0.5236)/pi=-30.0001。
這個結果與cos(2*pi*50*t-pi*30/180)中相位是相符的。
2、計算75Hz信號的相位。
y變量的第76點對應數值：3.43858275186904e-12 + 192.000000000000i
那么atan2(192, 3.43858275186904e-12)=1.5708弧度，換算成角度180*1.5708/pi=90.0002。這個結果與cos(2*pi*75*t+pi*90/180)中的相位是相符的。
- 總結
根據FFT結果以及上面的分析計算，我們就可以寫出信號的表達式了，它就是我們開始提供的信號。
總的來說，這個過程就是這樣：假設采樣頻率為Fs，采樣點數為N，做FFT之后，某一點n（n從1開始）表示的頻率為：Fn=(n-1)*Fs/N；該點的模值除以N/2就是對應該頻率下的信號的幅度（對於直流信號是除以N）；該點的相位即是對應該頻率下的信號的相位。相位的計算可用函數atan2(b,a)計算。atan2(b,a)是求坐標為(a,b)點的角度值，范圍從-pi到pi。要精確到xHz，則需要采樣長度為1/x秒的信號，並做FFT。要提高頻率分辨率，就需要增加采樣點數，這在一些實際的應用中是不現實的，需要在較短的時間內完成分析。解決這個問題的方法有頻率細分法，比較簡單的方法是采樣比較短時間的信號，然后在后面補充一定數量的0，使其長度達到需要的點數，再做FFT，這在一定程度上能夠提高頻率分辨力。具體的頻率細分法大家可參考相關文獻。
26.3 FFT變換的頻譜泄露問題
為了說明頻譜泄露的問題，這里我們具一個求解方波FFT變換的例子。在matlab中運行如下代碼：
Fs = 256; % 采樣率 N = 256; % 采樣點數 n = 0:N-1; % 采樣序列 t = 0:1/Fs:1-1/Fs; % 時間序列 x = square(2*pi*30*t, 50); %原始信號 y = fft(x); %對原始信號做FFT變換 M = abs(y); %求FFT轉換結果的模值 plot(n, M); %繪制FFT轉換模值的曲線
運行代碼，輸出結果如下：
與方波的理論計算值相比，上面的幅頻響應圖中出現了很多小毛刺，其實這個就是頻譜泄露的結果導致的。
下面就說說什么是頻譜泄露：
對於頻率為fs的正弦序列，它的頻譜應該只是在fs處有離散譜。但是，在利用DFT求它的頻譜做了截短，結果使信號的頻譜不只是在fs處有離散譜，而是在以fs為中心的頻帶范圍內都有譜線出現，它們可以理解為是從fs頻率上“泄露”出去的，這種現象稱 為頻譜“泄露"（結合上面的例子就更形象了）。
在實際問題中遇到的離散時間序列x(n)通常是無限長序列，因而處理這個序列的時候需要將它截斷。截斷相當於將序列乘以窗函數w(n)。根據頻域卷積定理，時域中x(n)和w(n)相乘對應於頻域中它們的離散傅立葉變換X(jw)和W(jw)的卷積。因此，x(n)截矩后的頻譜不同於它以前的頻譜。
為了減小頻譜“泄露”的影響，往往在FFT處理中采用加窗技術，典型的加窗序列有Hamming、Blackman、Gaussian等窗序列。此外，增加窗序列的長度也可以減少頻譜“泄露”。
時域上乘上窗函數，相當於頻域進行卷積。長度為無窮長的常數窗函數，頻域為delta函數，卷積后的結果和原來一樣。如果是有限矩形窗，頻域是Sa函數，旁瓣電平起伏大，和原頻譜卷積完，會產生較大的失真。
窗的頻譜，越像delta函數（主瓣越窄，旁瓣越小），頻譜的還原度越高。加窗就不可避免頻譜泄漏，典型的加權序列有Hamming、Blackman、Gaussian等窗序列主要是為了降低降低旁瓣，對於降低頻譜泄漏效果遠不如增加窗序列的長度明顯。
周期信號加窗后做DFT仍然有可能引起頻譜泄露，設fs為采樣頻率，N為采樣序列長度，分析頻率為：m*fs/N（m=0，1....)，以cos函數為例，設其頻率為f0,如果 f0不等於m*fs/N，就會引起除f0以外的其他m*fs/N點為非零值，即出現了泄露。
DFT作為有限長的運算，對於無限長的信號必須要進行一定程度的截斷，既然信號已經不完整了，那么截斷后的信號頻譜肯定就會發生畸變，截斷由窗函數來完成，實際的窗函數都存在着不同幅度的旁瓣，所以在卷積時，除了離散點的頻率上有幅度分量外，在相鄰的兩個頻率點之間也有不同程度的幅度，這些應該就是截斷函數旁瓣所造成的。
26.4 總結
通過本章節的講解，大家應該對FFT變換結果的物理意義應該有更深入的理解了，通過后面章節的繼續會讓大家有更加深入的認識。