這里面珂能會放一下自己覺得有趣(或思維較難)的一些數學題吧(不會太毒瘤)
(窩會在評論里放答案)
PS: 此內所有的幾何題均有純幾何方法。
- 已知\(f(x)+f'(x)=\sin x\cos x\)，求\(f(x)\)
提示：構造函數\(h(x)=e^xf(x)\)
- 拓展：已知\(f(x)-f''(x)=\sin x\cos x\)，求\(f(x)\)
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已知實數\(a>1\)，數列\(\{b_n\}\)滿足\(b_0=a,b_{n}=a^{b_{n-1}}\)。若數列\(\{b_n\}\)收斂，求\(a\)的取值范圍
提示：收斂\(\Leftrightarrow\)存在\(u\in R^+\)使得\(a^u=u\) -
對於所有勾股數組\((a,b,c)\)，不妨設\(a\le b\le c\)，求\(\max\{\dfrac{a}{b}\}\)
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一個人站在一個圓形小島的中心，小島外邊全是水。小島和水的邊緣有一只鱷魚。已知鱷魚的速度是人的\(4\)倍。鱷魚只能在水上走。鱷魚每次都是往離人最近點走的。如果人到了小島邊緣，且那個點沒有鱷魚，她就會獲救。請問她能否獲救？策略是什么？
- 拓展：求在獲救條件下，她最少走的距離是多少(假設小島的半徑是\(1\)km)
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已知圓\(O\)的半徑為\(2\)，定點\(A,B\)在圓\(O\)外，且\(|OA|=4,|OB|=4\sqrt 2,\angle AOB=45^\circ\)。點\(P\)在圓\(O\)的圓周上運動，求\(\min\{2\sqrt 2PA+PB\}\)(不能用任何計算器或畫圖軟件)。
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已知圓\(O\)內接四邊形\(ABCD\)，且\(AB=AD\)。連接\(AC,BD\)。作\(CD\)邊的中點\(M\)，過點\(M\)作\(MN\parallel AC\)交\(BD\)於\(N\)，連接\(AM,AN\)。求證：\(\angle CAN=\angle MAD\)。
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等腰\(\triangle ABC\)中，\(AB=AC,\angle BAC=20^\circ\)。在\(AB,AC\)上取點\(D,E\)，使得\(\angle BCD=50^\circ,\angle CBE=60^\circ\)，連接\(DE\)。求\(\angle ADE\)。 (不准用三角函數)
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用數學方法證明這題的答案的小數位為
.0或.5。 -
\(\triangle ABC\)中，\(\angle ABC=30^\circ, \angle ACB=20^\circ\)，在\(\triangle ABC\)中存在點\(P\)，使得\(\angle PBC=20^\circ, \angle PCB=10^\circ\)，求\(\angle PAB\)。
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銳角\(\triangle ABC\)中，點\(D\)在\(BC\)上，滿足\(AC=AD\)，點\(E\)在\(AC\)上，滿足\(BA=BE\)，且滿足\(AE=ED,ED\parallel AB\)。求\(\angle C\)。
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已知正數a,b,c滿足\(a^2+b^2+c^2=3\)，求\(\dfrac 1{a^3}+\dfrac 1{b^3}+\dfrac 1{c^3}+\dfrac 1{b^3+c^3}+\dfrac 1{a^3+c^3}+\dfrac 1{a^3+b^3}\)的最小值。
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已知正整數a,b,c，滿足\(8^a+15^b=17^c\)，求\((a,b,c)\)所有正整數解。
2021.08.14 突然發現這個號被解封了(之前我也不知道為什么被封了/kel)
2021.08.18 突然想起了這個坑，正好最近又有了個idea，就更一下吧
- \(\triangle ABC\) 的內心為 \(I\)。直線 \(AI\) 交 \(BC\) 於點 \(D\)，並且與 \(BC\) 的中垂線交於 \(M\)。
設 \(BC\) 邊上的旁切圓與 \(BC\) 切於點 \(E\)，點 \(A\) 關於過點 \(E\) 且垂直於 \(BC\) 的直線的對稱點為點 \(S\)。設 \(\triangle ATB\) 與 \(\triangle ACS\) 順相似，直線 \(MT\) 與 \(BC\) 交於 \(K\)。求證：\(KI=KD\)。