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進入大學，知道要學的課程中有門叫高等數學的，心里就吐槽到：為什么要叫高等數學，難道它要比別的數學高級點邁？
現在想起當時的想法，就一臉無法言喻的笑。
但也沒錯，高等數學是要比我們中學時期學的數學內容要“高級”點。
在中學時期，我們接觸的數學內容，被稱為初等數學，就是那些四則運算，方程，基本函數，簡單幾何，，，，，
而初等數學與高等數學的區別，或者說不同之處，在於兩者的研究對象不同。初等數學研究的是不變的量，而高等數學研究的是變動的量（就顯得很高級，連變動的事物都能研究出規律。）。
具體一點，比如同樣是計算，方程算的是某個固定的量，而函數算的卻是變化的量（高中學的函數是初等函數，是函數中的一些典型函數。跟大學里的函數相比，兩者像是集合與元素的關系）。
高等數學的學習是基於我們對函數的掌握開展的。
那么到底什么是函數呢？這里我們需要先知道什么是映射（由於函數是映射的一種特殊情況）。
映射，按照字面上的意思，我們可以想象出是某個物體投射到另一個物體的過程。在數學里，映射它也是一個“投射”的過程。
給出官方定義：
假設兩個非空集合X、Y，存在一個法則f，使得對X中的每個元素x,按法則f，在Y中有唯一確定的元素y與之對應，那么稱f為從X到Y的映射。
（關於定義，我們一定要進行仔細的解讀，最好是一句一句的理解，不然之后的學習容易形成概念誤差。）
簡單的來說，映射它的本質就是一種對應關系。
既然是對應，那前提肯定是得有相互對應的兩個事物吧？（所以定義的第一句就是要先有兩個非空集合，至於為什么必須是非空集合，你可以想想，都沒有東西，你跟啥相對應啊？）
這里有個問題，由於我們之前是先接觸的函數內容，所以可能會先入為主的形成一個誤區→那就是容易認為映射的兩個非空集合都是數集。
其實不是，映射指的是所有的對應關系，不僅僅只是數與數之間的對應關系。
（當然，這可能是因為對集合的概念的理解存在偏差。集合是指具有某種特定性質的具體的或抽象的對象匯總成的集體，比如狗可以形成一個集合，狗窩也可以形成一個集合。而單純的數，則是數的集合。）
具體舉個映射例子，比如狗和狗窩，這兩者就可以形成一個居住的對應關系。
每只狗都要有一個狗窩給它居住，也可以兩只狗住同一個狗窩，卻不可能一只狗同時住兩個狗窩（畢竟它又沒有分身術）。
這里把理解對應之前給出的定義就是，
存在一個法則f（也就是對應關系），
使得集合X中的每個元素x（集合X中不可剩余x，要求的是每一個元素。），
在集合Y中有唯一確定的元素y與之對應（如果集合X中有x找不到與之對應元素的y，那么就無法構成映射）。
元素x還有個名字叫原象，與元素x對應的元素y叫x的象（在集合Y中那些沒有x與之對應的y不是象），集合X稱為映射f的定義域。
象的集合在函數關系中被稱為值域，是集合Y的一個子集。
要形成一個映射同時具備三個要素：
1、集合X（定義域）
2、集合Y（值域范圍）
3、對應法則f（使得定義域中的每個元素x，有唯一確定的y與之對應）
以上，可以知道，映射就是一種對應關系，而函數只是映射的一種（函數是實數集到實數集的映射）。
對映射有了一定概念后，我們來看一下，映射的三種特殊情況，單射、滿射、一一映射（雙射）。
（1）單射：設f是集合A到集合B的一個映射，如果對於任意a，b屬於A，當a不等於b時有f(a)不等於f(b)，則稱f是A到B內的單映射 。
（2）滿射：如果對任意的b屬於B都有一個a屬於A使得f（a）=b，則稱f是A到B上的映射，或稱f是A到B的滿映射。
（3）一一映射，又稱雙射，即同時滿足單射和滿射。
映射除了這三種情況，還延伸出了相關內容——逆映射和復合映射。
與我們之前接觸的反函數相似，逆映射：
復合映射：
以上是關於映射的內容，下面我們來看看函數。
由於函數是映射的一種特殊情況，所以函數的本質也是一種對應關系。
介於我們高中是學過基本函數的，所以相信各位對函數的性質→奇偶性、單調性、以及周期性都是知道的，所以我就不講這幾個了，主要提一下函數的有界性。
初等函數：經過有限次的四則運算和有限次的函數復合步驟所組成的可用一個式子表示的函數。
比如三角函數，它就是基本初等函數。
余切函數與正切函數
余割函數與正弦函數
正割函數與余弦函數