一階RC高通濾波器詳解（仿真+matlab+C語言實現）

文章目錄

• 預備知識
• 關於電容
• HPF的推導
• simulink 仿真
• simulink 運行結果
• matlab 實現
• matlab 運行結果
• C語言實現

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HPF 一階RC高通濾波器詳解（仿真+matlab+C語言實現）
LPF 一階RC低通濾波器詳解（仿真+matlab+C語言實現）

預備知識

高通濾波器（HPF-high pass filter）可以濾除頻率低於截止頻率的信號，類似的還有低通濾波器，帶通濾波器，帶阻濾波器。一階RC高通濾波器的電路如下圖所示；

關於電容

首先對電容的幾個公式做一下補充；
電容大小 $C$滿足；
$C=\cfrac{q}{V} \cdots①$
其中 $q$ 是電容所帶的電荷量， $V$ 是電容兩端的電勢差；
另外，電流相當於單位時間流過導體的電荷量；因此電流 $i$ 滿足；
$i = \cfrac{dq}{dt}\cdots②$

根據①，②可以得到電容大小 $C$ 和電容的電流 $i$ 以及兩端電壓 $V$ 的關系；
$i(t) = C\cfrac{dv(t)}{dt}$

HPF的推導

由以上電路可知，假設電流為 $i(t)$，則可知
$\begin{cases} V_{out} = Ri(t) \cdots③ \\ i(t) = C\cfrac{dQ_c(t)}{dt} \cdots④\\ \end{cases}$
電容兩端的電壓為 $V_c(t)$ 根據基爾霍夫定律，滿足；
$-V_{in} + V_C + V_{out} = 0$

所以結合①，③，④可以得到；
$Q_c(t) = C( V_{in}(t) - V_{out}(t)) \cdots ⑤$

根據 ③，④，⑤ 可以得到以下關系；
$V_{out} = \overbrace{ C( \cfrac{dV_{in}}{dt} - \cfrac{dV_{out}}{dt}) }^{I(t)} R = RC(\cfrac{dV_{in}}{dt} - \cfrac{dV_{out}}{dt}) \cdots ⑥$

將方程進行離散化，如果輸入 $V_{in}$和輸出輸入 $V_{out}$按照 $\bigtriangleup_{T}$的時間采樣，那么可以將輸入和輸出序列化，則
$V_{in}$序列化為：
$(x_{1},x_{2},x_{3}\cdots,x_{n-1},x_{n})$
$V_{out}$序列化為：
$(y_{1},y_{2},y_{3}\cdots,y_{n-1},y_{n})$

根據⑥式可以進行離散化，因此最終濾波輸出的序列 $y_{i}$ 如下所示；
$y_{i} = RC(\cfrac{x_{i}-x_{i-1}}{\bigtriangleup_{T}} -\cfrac{y_{i}-y_{i-1}}{\bigtriangleup_{T}} )\cdots⑦$
將⑦再進一步簡化得到；

$y_{i} = \alpha y_{i-1} + \alpha(x_i - x_{i-1})$

其中 $\alpha = \cfrac{RC}{RC+\bigtriangleup_{T}}$

所以換成得到；
$RC = \bigtriangleup_{T}(\cfrac{\alpha}{1-\alpha}) \cdots⑧$

另外截止頻率和低通濾波器的相同；
$f_c = \cfrac{1}{2\pi RC}$

將⑧式代入可以得到截止頻率和 $\alpha$ 的關系；
$f_c = \cfrac{1-\alpha}{2\pi \alpha \bigtriangleup_{T}}$
這個公式便於簡化后面程序以及截止頻率的計算。

simulink 仿真

這里根據公式⑥構建simulink的子模塊subsystem；
$V_{out} = RC(\cfrac{dV_{in}}{dt} - \cfrac{dV_{out}}{dt})$
具體如下所示；

整體的仿真如下圖所示；

其中Sine Wave頻率設置為2*pi*40，頻率為40赫茲;

其中Sine Wave1頻率設置為2*pi*4，頻率為4赫茲;

所以這里需要使得2*pi*4的信號衰減，所以根據，截止頻率 $f_c$ 的計算公式，可以改變增益的值，具體如下所示；

這里RC增益為0.005，因此
$f_c = \cfrac{1}{2\pi RC} = \cfrac{1}{2\pi *0.005} \approx 31.8$

simulink 運行結果

matlab 實現

matlab根據以下這個公式進行數字濾波器的設計；
$y_{i} = \alpha y_{i-1} + \alpha(x_i - x_{i-1})$
另外 $\alpha$ 的值如何確定需要參考⑧式；

Serial = 0:0.1:100;
Fs = 1;
Phase = 0;
Amp = 1;

N0 = 2*pi*Fs*Serial - Phase;
X0 = Amp*sin(N0);
subplot(4,1,1);
plot(X0);

Fs = 0.02;
N1 = 2*pi*Fs*Serial - Phase;
X1 = Amp*sin(N1);
subplot(4,1,2);
plot(X1);

X2=X0+X1;
subplot(4,1,3);
plot(X2);

len = length(X2);
X3=X2;
p=0.75;

for i=2:len
    X3(i) = p*X3(i-1)+p*(X2(i)- X2(i-1))
end

subplot(4,1,4);
plot(X3);

簡單地分析一下，代碼中的X1，X2，X3；

• X1頻率為1
• X2頻率為0.02

$\begin{cases} \alpha = p=0.75 \\ \bigtriangleup_{T} = 0.1 \\ f_c = \cfrac{1-\alpha}{2\pi \alpha \bigtriangleup_{T}} \end{cases}$

因此可以得到截止頻率如下；
$f_c=\cfrac{0.25}{2\pi *0.75* 0.1} \approx 0.53$

matlab 運行結果

C語言實現

typedef struct
{
     int16_t  Input[2];
     int16_t  Output[2];
     int32_t  FilterTf;		
     int32_t  FilterTs;
     int32_t  Ky;
} high_filter;

void high_filter_init(high_filter *v);
int16_t high_filter_calc(high_filter *v);

其中；

• FilterTs為采樣時間 $\bigtriangleup_{T}$；
• FilterTf為RC時間常數；
• Input[0]表示 $x_i$；
• Input[1]表示 $x_{i-1}$；
• Output[0]表示 $y_i$；
• Output[1]表示 $y_{i-1}$；
• Ky表示 $\cfrac{RC}{RC+\bigtriangleup_{T}}$；

參考公式如下所示；

void high_filter_init(high_filter *v){	
     v->Ky = v->FilterTf*1024/(v->FilterTs + v->FilterTf);
}

int16_t high_filter_calc(high_filter *v){

	int32_t tmp = 0;

	tmp = ((int32_t)v->Ky*v->Output[1] + v->Ky*(v->Input[0] - v->Input[1]))/1024;
	if(tmp>32767){
		tmp = 32767;
	}
	
	if( tmp < -32768){
		tmp = -32768;
	}
	
    v->Output[0] = (int16_t)tmp;
    v->Output[1] = v->Output[0];
    v->Input[1] = v->Input[0];
	return v->Output[0];
}