省賽第7題 螺旋矩陣
問題描述
對於一個 n 行 m 列的表格，我們可以使用螺旋的方式給表格依次填上正整數，我們稱填好的表格為一個螺旋矩陣。
例如，一個 4 行 5 列的螺旋矩陣如下：
1 2 3 4 5
14 15 16 17 6
13 20 19 18 7
12 11 10 9 8
輸入格式
輸入的第一行包含兩個整數 n, m，分別表示螺旋矩陣的行數和列數。
第二行包含兩個整數 r, c，表示要求的行號和列號。
輸出格式
輸出一個整數，表示螺旋矩陣中第 r 行第 c 列的元素的值。
樣例輸入
4 5
2 2
樣例輸出
15
評測用例規模與約定
對於 30% 的評測用例，2 <= n, m <= 20。
對於 70% 的評測用例，2 <= n, m <= 100。
對於所有評測用例，2 <= n, m <= 1000，1 <= r <= n，1 <= c <= m。
分析
暴力法可能過不了全部用例，不過也可數據規模不大應該是可以的，先寫先撈分
(問題是我筆電上二維數組超過 999 × 999 就無法運行，所以……)
我今天才知道要把大數組定義成靜態/(ㄒoㄒ)/……
咱們也不會優化算法，那就畫圖找規律，看看能不能推導出公式吧。
1. 首先我們先畫出一個 \(5×6\) 的螺旋矩陣
| A | B | C | D | E | F | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 2 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 7 |
| 3 | 17 | 28 | 29 | 30 | 23 | 8 |
| 4 | 16 | 27 | 26 | 25 | 24 | 9 |
| 5 | 15 | 14 | 13 | 12 | 11 | 10 |
2. 沿着數字增長的方向觀察增長規律
設該矩陣有 \(n\) 行 \(m\) 列，當前為第 \(i\) 行，第 \(j\) 列
第 \(1\) 行，第 \(j\) 列，數字為 \(i\)
* 看第 \(1\) 行，\(1\sim6\)，顯然值 \(=i\)
第 \(i\) 行，第 \(m(j)\) 列，數字為 \(i + j(m) - 1\)
* 看最右列(即第 \(m\) 列)，\(6\sim10\)，考慮到矩陣有 \(m\) 列，這是第 \(i\) 行，相加后發現 \(-1\) 即滿足。
第 \(n(i)\) 行，第 \(j\) 列，數字為 \((m + i) + (m - j - 1)\)
* 看最后 \(1\) 行(即第 \(n\) 行)，\(15\sim10\)，由於在底部，要先加上第 \(1\) 行和最右列的值，考慮到該行數遞減，所以用總列數 \((m)-\) 當前列數，觀察下再 \(-1\) 即可。
第 \(i\) 行，第 \(1\) 列，數字為 \((2 * m + n)+( n - i - 2)\)
* 看第 \(1\) 列(除去第 \(1\) 行)，\(18\sim15\)，由於已經轉了\(\cfrac{3}{4}\)圈，所以先加上\(2×m+n\)，然后數字遞減，用總行數 \((n)-\) 當前行數，之后 \(-2\) 即可。
3. 找另一個螺旋矩陣驗證一下
| A | B | C | D | E | |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 2 | 16 | 17 | 18 | 19 | 6 |
| 3 | 15 | 24 | 25 | 20 | 7 |
| 4 | 14 | 23 | 22 | 21 | 8 |
| 5 | 13 | 12 | 11 | 10 | 9 |
還挺對的😂(最好是找兩個不同矩陣驗證，不過我懶得畫了)
4. 既然已經算出一圈的公式，不難想到將矩陣分為多層，利用遞歸求解
不過別高興得太早，我們要先求出左上角地值。
例如，在如下矩陣中，加粗數為第 \(2\) 層，而紅色數為所要求的值。
| A | B | C | D | E | F | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 2 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 7 |
| 3 | 17 | 28 | 29 | 30 | 23 | 8 |
| 4 | 16 | 27 | 26 | 25 | 24 | 9 |
| 5 | 15 | 14 | 13 | 12 | 11 | 10 |
結合總列數和總行數不難發現 \(m - 1 + n - 1\) 再 \(×2\) 可得該數
5. 最后，確定遞歸條件(易錯😭)
* 如果數不在這 \(1\) 層則往左上角移動，前往內 \(1\) 層尋找
* 前往內 \(1\) 層時行列數均要 \(-2\) ，敲黑板划重點。
6. 敲代碼，祝你AC
題解
#include <stdio.h>
int f( int n, int m, int i, int j )
{
if ( i == 1 )
return(j);
if ( j == m )
return(i + j - 1);
if ( i == n )
return( (m + i) + (m - j - 1) );
if ( j == 1 )
return(2 * m + 2 * n - i - 2);
return(f( n - 2, m - 2, i - 1, j - 1 ) + (2 * (m - 1 + n - 1) ) );
}
int main()
{
int n, m, r, c;
scanf( "%d %d", &n, &m );
scanf( "%d %d", &r, &c );
/*驗證一下
for(r=1;r<=n;r++)
{
for(c=1;c<=m;c++)
printf( "[%d]", f( 6, 6, r, c ) );
printf("\n");
}
*/
printf( "%d", f( n, m, r, c ) );
return 0;
}
反思
栽在了遞歸條件上(行列數要 \(-2\))，💔
關鍵還是沒寫驗證代碼，(￣ε(#￣)
參考資料
* (算法參考)題解 P2239 【螺旋矩陣】 - Anguei 的博客 - 洛谷博客
* (模擬法)藍橋杯校內賽解析 – 誰知晚來風急