為何很多地方要用傅里葉變換？
很多在時域看似不可能做到的數學操作，在頻域相反很容易，這就是需要傅里葉變換的地方。
尤其是從某條曲線中去除一些特定的頻率成分，這在工程上稱為濾波，是信號處理最重要的概念之一，只有在頻域才能輕松的做到。
幅值譜：頻率和幅值的關系。中心為頻率最小點。因此幅值譜中心部分代表的是低頻信息，即空間域的平緩的部分。越往外代表的是高頻信息，空間域的邊緣啊噪聲等
頻率：以正弦波為例，就是周期的倒數
幅值：周期內最大值
幅值高（幅值譜越亮的部分）代表像素越多。一幅圖像經過傅里葉變換之后一定是中心較亮，四周較暗（低頻像素多，高頻像素少），因為一般一幅圖像中高頻信息（邊緣等）是很少的，多的是背景。
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二維坐標系中向量點的圖示由於正交基（即坐標系)的建立, 可以寫成向量坐標（如（2，1））數值格式；同理已知坐標系和向量坐標可以變換推出圖示意的樣子。（這個類比很棒了）
傅里葉變換也是一樣：將連續的周期性函數寫成無數個正交的正（余）弦函數的和，其中引入了振幅（f, 周期函數的最大值），相位（q,即0時刻周期函數曲線的進入點），頻率（w,反應周期性大小）。
同坐標變換一樣，已知了這些相互正交的周期函數(即空間中一組完備的正交基)，可以由傅里葉變換后的坐標結果（即f，w, q）反變換得到之前的圖示結果---即原始的那條周期性曲線。
變聲，美顏都可以用傅里葉變換及反變換得到。
比如美顏，一張人物圖片傅里葉變換后就是一張類似衍射圖的東西，然后低頻代表人物輪廓，高頻代表人物細節如皺紋等，我們只需要抹掉高頻，然后反變換回圖片空間即得到磨皮的結果。
變聲也是：發現嘈雜的聲音傅里葉變換后，發現有具有低頻的部分，以及僅高頻的部分，還有一些噪音。大腦自動發現了男聲處在低頻部分，女聲在高頻部分。
只要將一個變換后的聲音的低頻抹掉，再反變換回去就得到了女聲，同樣的根據某個人的變換后的頻率相位圖反變換就得到變聲。
世界上所有的信號都具有波粒二象性，耳朵接收聲波，眼睛接受光波，正是因為大腦能進行快速傅里葉變換處理信號，所以人類才這么高級方便。
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高通濾波，低通濾波是按頻率划分的。對於正弦曲線，振幅變化快就是高頻，變化慢就是低頻。那么對於圖像，像素值變化快就是高頻（噪聲啦，邊緣啦、邊緣及噪聲在局部像素值變化較大），像素值變化慢就是低頻。所以一幅圖像低頻較多，高頻較少。那么保留高頻就是高通濾波器（邊緣提取），保留低頻就是低通錄波器（圖像平滑）。
傅里葉變換將圖像轉換成幅值譜(magnitude_spectrum)：按頻率從小到大由中心向四周擴散，幅值譜越亮說明像素越多，反之則越少。
上代碼：
1 import cv2 2 import numpy as np 3 import matplotlib.pyplot as plt 4 img=cv2.imread('../images/example_01.jpg',0) 5 # 高通濾波 numpy 用的多 6 # 正變換 7 f=np.fft.fft2(img) 8 fshift=np.fft.fftshift(f) 9 magnitude_spectrum=20*np.log(np.abs(fshift)) 10 11 12 plt.subplot(121),plt.imshow(img,cmap='gray'),plt.title('Input Image'),plt.xticks([]),plt.yticks([]) 13 plt.subplot(122),plt.imshow(magnitude_spectrum,cmap='gray'),plt.title('magnitude_spectrum') 14 plt.show()
上效果：
那么像提取圖像的邊緣就是去掉低頻保留高頻：先通過傅里葉正變換得到幅值譜，去掉低頻像素，然后再通過傅里葉逆變換得到圖像邊緣。上代碼：
1 import cv2 2 import numpy as np 3 import matplotlib.pyplot as plt 4 # img=cv2.imread('../images/can.jpg',0) 5 # img=cv2.imread('../images/qin.jpg',0) 6 img=cv2.imread('../images/example_01.jpg',0) 7 # 高通濾波 numpy 用的多 8 # 正變換 9 f=np.fft.fft2(img) 10 fshift=np.fft.fftshift(f) 11 magnitude_spectrum=20*np.log(np.abs(fshift)) 12 13 14 rows,cols=img.shape 15 crow,ccol=int(rows/2),int(cols/2) 16 print('img.shape',img.shape) 17 # 低頻過濾 18 fshift[(crow-30):(crow+30),(ccol-30):(ccol+30)]=0 19 #逆變換 20 f_ishift=np.fft.ifftshift(fshift) 21 img_back=np.abs(np.fft.ifft2(f_ishift)) 22 23 24 plt.subplot(121),plt.imshow(img,cmap='gray'),plt.title('Input Image'),plt.xticks([]),plt.yticks([]) 25 plt.subplot(122),plt.imshow(img_back,cmap='gray'),plt.title('img_back'),plt.xticks([]),plt.yticks([]) 26 plt.show()
上效果：
那么均值濾波，高斯濾波，sobel，scharr，拉普拉斯濾波器是低通濾波器還高通濾波器呢？我們通過幅值譜來判
斷，上代碼：
1 import cv2 2 import numpy as np 3 from matplotlib import pyplot as plt 4 5 6 # simple averaging filter without scaling parameter 7 # 低通 8 mean_filter = np.ones((3,3)) 9 10 11 # creating a guassian filter 12 # 低通 13 x = cv2.getGaussianKernel(5,10) 14 gaussian = x*x.T 15 16 17 # different edge detecting filters 18 # scharr in x-direction 19 # 高通 20 scharr = np.array([[-3, 0, 3], 21 [-10,0,10], 22 [-3, 0, 3]]) 23 # sobel in x direction 24 # 高通 25 sobel_x= np.array([[-1, 0, 1], 26 [-2, 0, 2], 27 [-1, 0, 1]]) 28 # sobel in y direction 29 # 高通 30 sobel_y= np.array([[-1,-2,-1], 31 [0, 0, 0], 32 [1, 2, 1]]) 33 # laplacian 34 # 高通 35 laplacian=np.array([[0, 1, 0], 36 [1,-4, 1], 37 [0, 1, 0]]) 38 39 40 filters = [mean_filter, gaussian, laplacian, sobel_x, sobel_y, scharr] 41 filter_name = ['mean_filter', 'gaussian','laplacian', 'sobel_x', \ 42 'sobel_y', 'scharr_x'] 43 fft_filters = [np.fft.fft2(x) for x in filters] 44 fft_shift = [np.fft.fftshift(y) for y in fft_filters] 45 mag_spectrum = [np.log(np.abs(z)+1) for z in fft_shift] 46 47 48 for i in range(6): 49 plt.subplot(2,3,i+1),plt.imshow(mag_spectrum[i],cmap = 'gray') 50 plt.title(filter_name[i]), plt.xticks([]), plt.yticks([]) 51 plt.show()
上效果：
前面討論過，幅值譜中間為低頻，四周為高頻且越亮像素越多，就是被濾波器保存下來了。不難發現，均值與高斯濾波器幅值譜中間亮，為低通濾波器（平滑），拉普拉斯、sobel、scharr四周較亮為高通濾波器（邊緣提取），邊緣提取又分垂直邊緣與水平邊緣~這個從圖上看就一目了然啦。