對數及運算法則

1.對數源於指數，是指數函數反函數

　　因為：y = a^x

　　所以：x = log_ay

2. 對數的定義

　　【定義】如果 N=a^x（a>0,a≠1），即a的x次方等於N（a>0，且a≠1），那么數x叫做以a為底N的對數（logarithm），記作：

　　 x=log _aN

　　其中，a叫做對數的底數，N叫做真數，x叫做 “以a為底N的對數”。

　　2.1對數的表示及性質：

　　　　1.以a為底N的對數記作：log_aN

　　　　2.以10為底的常用對數：lgN    = log₁₀N

　　　　3.以無理數e（e=2.71828...）為底的自然對數記作：lnN  = log_eN

　　　　4.零沒有對數.

　　　　5.在實數范圍內，負數無對數。 [3]在虛數范圍內，負數是有對數的。

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　　注： 自然對數的底數 e ：https://www.guokr.com/article/50264/

　　　　細胞分裂現象是不間斷、連續的，每分每秒產生的新細胞，都會立即和母體一樣繼續分裂，一個單位時間(24小時)最多可以得到多少個細胞呢？答案是：

　　　　

　　　　當增長率為100%保持不變時，在單位時間內細胞種群最多只能擴大2.71828倍。 數學家把這個數就稱為e，它的含義是單位時間內，持續的翻倍增長所能達到的極限值。

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3.對數函數

【3.1定義】

　　函數   叫做對數函數（logarithmic function），其中 x是自變量。對數函數的定義域是   。

【3.2函數基本性質】

　　1、過定點   ，即 x=1時， y=0。

　　2、當   時，在   上是減函數；

　　　　當   時，在   上是增函數。

 

4.對數運算法則(rule of logarithmic operations）

對數運算法則，是一種特殊的運算方法。指 積、商、冪、方根 的對數的運算法則

 由指數和對數的互相轉化關系可得出:

1.兩個正數的積的對數，等於同一底數的這兩個數的對數的和，即：

　　

2.兩個正數商的對數，等於同一底數的被除數的對數減去除數對數的差，即：

　　

3一個正數冪的對數，等於冪的底數的對數乘以冪的指數，即：

　　

4.若式中冪指數則有以下的正數的算術根的對數運算法則:一個正數的算術根的對數，等於被開方數的對數除以根指數，即：

　　

5.推導

 5.對數公式

 5.1基本知識

 ①  ； 

②   ； 

③負數與零無對數. 

④   *   =1； 

⑤   ；

5.2恆等式及證明

a^log(a)(N)=N (a>0 ，a≠1）

對數公式運算的理解與推導by尋韻天下 (8張)

 推導：log(a) (a^N)=N 恆等式證明

在a>0且a≠1，N>0時

設：當log(a)(N)=t，滿足(t∈R)

則有a^t=N;

a^(log(a)(N))=a^t=N;

證明完畢

 

 

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