CF1326E Bombs
題目大意
有一個長度為 \(n\) 的排列 \(p_{1}, p_{2},\dots, p_{n}\)。其中一些位置上是有炸彈的（保證至少一個位置沒有炸彈）。
對於一個固定的局面（已知哪些位置有炸彈），我們這樣定義它的權值：考慮如下過程：
維護一個集合 \(A\)，初始時為空。從 \(1\) 到 \(n\) 遍歷所有 \(i\)：
- 將 \(p_{i}\) 加入集合 \(A\)。
- 如果 \(i\) 位置上有炸彈，則刪除 \(A\) 中最大的數。
顯然最后 \(A\) 里至少會剩一個數。該局面的權值就是此時 \(A\) 里最大的數。
初始時沒有炸彈。接下來 \(n - 1\) 個時刻，每個時刻會在一個原本沒有炸彈的位置上放一顆炸彈。告訴你這些位置，請你求出每個時刻局面的權值。
數據范圍：\(2\leq n\leq 300\, 000\)。
本題題解
考場上的一點分析：依次加入炸彈的過程中，每個炸彈會匹配到原序列的一個值——也就是它要炸掉的值。但是因為炸彈不是按位置順序加入的，所以在加入的過程中，炸彈和值的匹配關系會發生變化，而這個變化會產生連鎖反應，不好快速維護。（例如樣例二中就可以看出這種匹配關系的變化）
正解：
換個角度思考。容易發現答案是單調不增的。所以我們可以把問題轉化為，判斷當前答案是否小於某個值\(x\)。
也就是說，我們需要炸掉所有\(\geq x\)的值。
- 考慮最右邊的\(\geq x\)的值，它右邊必須至少有一個炸彈。
- 右起第二個\(\geq x\)的值，它右邊必須至少有兩個炸彈。
- ......
- 右起第\(k\)個\(\geq x\)的值，它右邊必須至少有\(k\)個炸彈。
考慮構造一個序列\(b_i\)，表示\(i\dots n\)中\(\geq x\)的值的數量 減去 炸彈的數量。
發現答案小於\(x\)當且僅當所有\(b_i\)都\(\leq0\)。也就是說每個\(\geq x\)的值，都能被至少一個炸彈“照顧”到。
用線段樹維護\(b\)序列，支持區間加、求全局最大值即可。
時間復雜度\(O(n\log n)\)。
總結
發現了答案的單調性后，我們把問題轉化為：判斷當前答案是否小於某個值\(x\)。這有點像二分答案，這樣做的好處是：所有需要被炸掉的值都是確定的了。我們只要判斷能否把它們都炸掉即可。
參考代碼
//problem:CF1326E
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define pb push_back
#define mk make_pair
#define lob lower_bound
#define upb upper_bound
#define fst first
#define scd second
typedef unsigned int uint;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int,int> pii;
namespace Fread{
const int MAXN=1<<20;
char buf[MAXN],*S,*T;
inline char getchar(){
if(S==T){
T=(S=buf)+fread(buf,1,MAXN,stdin);
if(S==T)return EOF;
}
return *S++;
}
}//namespace Fread
#ifdef ONLINE_JUDGE
#define getchar Fread::getchar
#endif
inline int read(){
int f=1,x=0;char ch=getchar();
while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
while(isdigit(ch)){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
return x*f;
}
inline ll readll(){
ll f=1,x=0;char ch=getchar();
while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
while(isdigit(ch)){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
return x*f;
}
/* ------ by:duyi ------ */ // myt天下第一
const int MAXN=3e5;
int n,a[MAXN+5],q[MAXN+5],pos[MAXN+5];
struct SegmentTree{
int val[MAXN*4+5],tag[MAXN*4+5];
void push_down(int p){
if(tag[p]){
val[p<<1]+=tag[p];
tag[p<<1]+=tag[p];
val[p<<1|1]+=tag[p];
tag[p<<1|1]+=tag[p];
tag[p]=0;
}
}
void push_up(int p){
val[p]=max(val[p<<1],val[p<<1|1]);
}
void modify(int p,int l,int r,int ql,int qr,int v){
if(ql<=l && qr>=r){
val[p]+=v;
tag[p]+=v;
return;
}
push_down(p);
int mid=(l+r)>>1;
if(ql<=mid)modify(p<<1,l,mid,ql,qr,v);
if(qr>mid)modify(p<<1|1,mid+1,r,ql,qr,v);
push_up(p);
}
SegmentTree(){}
}T;
int main() {
n=read();
for(int i=1;i<=n;++i)a[i]=read(),pos[a[i]]=i;
for(int i=1;i<=n;++i)q[i]=read();
int ans=n;
T.modify(1,1,n,1,pos[n],1);
for(int i=1;i<=n;++i){
printf("%d ",ans);
T.modify(1,1,n,1,q[i],-1);
if(i==n)break;
while(1){
assert(ans>=1);
if(T.val[1]<=0){
--ans;
T.modify(1,1,n,1,pos[ans],1);
}
else break;
}
}
puts("");
return 0;
}