CF 494E Sharti

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題意：一個\(n \times n\)的棋盤，共有m個矩形中的格子為白色。兩個人需要博弈，每次操作選擇一個邊長不超過k的正方形並翻轉顏色，每次翻轉需要正方形的右下角為白色，輪流操作，不能操作者輸。

題解：
這個題顯然是滿足翻硬幣游戲的定理，只是將一維改成了二維。
\(sg_{i,j}= \min\{ lowbit(i),lowbit(j),maxbit(k) \}\)。
lowbit(x)是把x看成2進制數的最低位，maxbit(x)時最高位。
接下來證明這個結論。

接下來給出幾個引理。

定義
\(pre_x = \bigoplus_{i=1}^{x} \text{lowbit(i)}\)
\(f(l,r)= \bigoplus_{i=l}^{r} \text{lowbit(i)}\)

引理1： \(\forall k \geq 1\),\(pre_{2^k} = 2^{k-1}\)

證明：考慮各位的貢獻易證。

引理2： \(\forall k \geq 1\),令集合\(S_k=\{ pre_x | x\in [0,2^k-1] \}\) ,可以證明\(S_k=[0,2^k-1]\)

證明：歸納，k=1時顯然成立，當k>1時，$$S_k={ pre_x | x\in [0,2^{k-1}-1] } \bigcup \
{ (2^{k-1} + 2^{k-2}) pre_x | x\in [0,2^{k-1}-1] }
\
=[0,2^{k}-1]$$

引理3：\(\forall x \neq y,pre_x \neq pre_y\)
證明：由引理2可知。

先討論\(k=n\)的情況，即翻轉的正方形沒有長度限制。

我們考慮歸納證明。
首先對於\(i \leq 1\)或\(j \leq 1\)的情況,顯然\(sg_{i,j}=1\)。
接下來對於\(i \leq x , j \leq y , (i,j) \neq (a,b)\)的情況都滿足結論，我們需要證明\(sg_{a,b}=\min\{lowbit(a),lowbit(b)\}\)
不妨設\(lowbit(a) \leq lowbit(b)\),\(k=lowbit(a)\)
對於小於2^k的數必定都在S中，因為顯然對於\(i < 2^k, lowbit(a-i)=lowbit(b-i)=lowbit(i)\),
於是對於\(x < 2^k,pre_x \in S\)。
只需證明\(2^k \notin S\)
我們要找\(2^k\),不妨放弱一點條件，我們只要找值在\([2^k,2^{k+1}-1]\)的即可。
令\(t=a-2^k\),\(k'=lowbit(t)\)
如果\(a-2^k\)或\(b-2^k\)為0，那么一定找不到。
\(lowbit(a)<lowbit(b)\)時，在矩陣的\((a-2^k,b)\)這個位置有一個 \(2^{k'}\)
\(lowbit(a)=lowbit(b)\)時，在矩陣的\((a-2^k,b-2^k)\)這個位置有一個 \(2^{k'}\)
並且顯然，以\(2^k\)為邊長的正方形只有一個值為\(2^{k'}\)
把這個位置記為\((a',b')\),不管在哪，我們都得把這個\(2^{k'}\)給消掉
那么新的問題是要在(a',b')為右下角，找到一個值為\([2^{k'},2^{k'+1}-1]\)的正方形。
(為什么是正方形呢，因為多出來的右邊那一部分或者是上面一部分的值域一定在\([0,2^{k'}-1]\))，所以不會影響答案。
不難發現這個問題跟原來是一樣的，而且做有限次之后a,b一定有一個會變為0，所以\(2^k \notin S\),\(\text{mex}\{S\}=2^k\)

這樣我們就解決了\(k=n\)的問題，當\(k < n\)時，顯然，k只會對\(\min\{lowbit(a),lowbit(b)\} > maxbit(k)\)的\(sg_{a,b}\)造成影響，
設\(t=2^{maxbit(k)}\)
不難發現，在邊長k以內，以(a,b)為右下角和以(2t,2t)為右下角的值是一樣的。
\(S=\{f(x,2t-1)|x\in[2t-k+1,2t]\}\)
又\(2t>x,lowbit(x)=lowbit(2t-x)\)
所以\(S= \{pre_x | x\in[0,k-1]\}\)
而\(pre_{2^{k+1}-1}=2^{k}\)，由引理3可知\(2^k \notin S\)

既然知道了sg函數，我們直接掃描線+線段樹，由於lowbit的種數很少，枚舉每個lowbit進行維護即可。