第三講 多重背包問題

有 N 種物品和一個容量是 VV 的背包。

第 i 種物品最多有 s_i 件，每件體積是 v_i，價值是 w_i。

求解將哪些物品裝入背包，可使物品體積總和不超過背包容量，且價值總和最大。
輸出最大價值。

輸入格式

第一行兩個整數N，V，用空格隔開，分別表示物品種數和背包容積。

接下來有 N行，每行三個整數v_i,w_i,s_i，用空格隔開，分別表示第 i 種物品的體積、價值和數量。

輸出格式

輸出一個整數，表示最大價值。

數據范圍

0<N≤1000
0<V≤2000
0<v_i,w_i,s_i≤2000

提示：

本題考查多重背包的二進制優化方法。

輸入樣例

4 5
1 2 3
2 4 1
3 4 3
4 5 2

輸出樣例：

10

 

狀態計算
集合划分

第i個物品最多選多少個
f[i,j] = max(f[i-1,j-kv]+kw) k=0,1,2,…,s[i]

二進制優化
f[i,j] = Max(f[i-1,j], f[i-1,j-v]+w,f[i-1,j-2v]+2w,…,f[i-1,j-sv]+sw)
f[i,j-v]=Max(f[i-1,j-v], f[i-1,j-2v]+w,…, f[i-1,j-(s+1)v]+(s+1)w)

二進制的優化方式
s=1023

1,2,4,8,…,512

0~1023

把多種背包某個物品有s次，轉化為logS的物品的01背包問題，因此可以拼湊出問題的解

注意這里的湊數，最后一個是剩余的解
如 s=200
1,2,4,8,16,32,64,73

1~127
73~200
所以只湊出了0-200的解

s
1,2,4,8,..,2^k,c
c=s-(2^{k+1}-1)

c<2^{k+1}
s<=2^{k+2}-1;

優化步驟
總物品數：NlogS
時間：VNlogS

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

//N*log(s)*V 
const int N = 11000;//N*log(s)向上取整
//總物品數：NlogS

int n,m;
int w[N];//重量
int v[N];//價值
int f[N];//[j], j重量的最大價值

int main()
{
    cin >> n >> m;
    
    int cnt = 0;
    for(int i = 1;i <= n;i ++)
    {
        int a,b,s;
        cin >> a >> b >> s;
        int k = 1;
        while(k <= s)
        {
            cnt++;
            w[cnt] = a * k;
            v[cnt] = b * k;
            s -= k;
            k *= 2;
        }
        
        if(s > 0)
        {
            cnt++;
            w[cnt] = a * s;
            v[cnt] = b * s;
        }
    }
    n = cnt;
    for(int i = 1;i <= n;i ++)
        for(int j = m;j >= w[i];j --)
            f[j] = max(f[j],f[j - w[i]] + v[i]);

            
    cout << f[m] << endl;

    return 0;
}