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參考鏈接：借這個問題科普一下並查集各種情況下的時間復雜度 - 省份數量 - 力扣（LeetCode） (leetcode-cn.com)
一，並查集（Disjoint Set）概述
1，並查集的作用
① 檢查圖中是否存在環
2 ，並查集的流程
① 設定一個集合，叫並查集
② 往集合里面添加邊，怎么添加呢？取邊的起點和終點，判斷兩點是否都在集合里面。如果都在，則出現了環，如果不在，則將兩個點放入集合中。
③ 繼續添加下一條邊，直到沒有邊。如果最后都沒有找到環，就是圖中不存在環。
二，並查集的構造
1， 在上述並查集的流程中，如果我們用集合表示並查集，自然也可以實現。但使用集合的話，在進行“集合合並”或者是“點是否屬於該集合的判斷”的話，時間復雜度應該是高於使用根數組（憑感覺，關於時間復雜度真的搞不懂）。
2， 並查集構造的三個動機：
能夠表示點加入集合的不同狀態；方便查找點是否存在於集合中；方便兩個不同的集合進行合並。
3， 根數組（我不知道專業名稱，這里暫時這樣稱呼）
為了滿足上述三點，於是便有人想出了並查集算法，想出了用根數組：p 實現並查集。
p[i]：表示第i個點的父節點。
p 的初始化：p[i] = i; 或 p[i] = -1;
4， 表示點加入集合的不同狀態
根數組用樹的結構去表示點的狀態。為什么用樹呢？因為並查集算法就是為了檢查環的存在，所以一旦有環的存在就會被判定為異常，即並查集無需表示環，而無環的連通圖就是樹。
有了數組p[i]，就能根據父節點構造出森林出來，位於同一棵樹的點自然屬於同一集合。
5， 查找點是否存在於集合
並查集算法用根代表某一個集合。如果兩個點的根一樣，則表明兩個點處於同一棵樹上，即兩個點同處於它們的根所代表的集合中。
而查找根的方法我們可以輕易根據數組p實現，只需要一層一層的用父節點往上循環，直到根節點。
那么，如何判斷是否為根節點呢？因為根節點從未加入其他節點，所以根據初始化條件的不同，根節點的 p[i] = i; 或 p[i] = -1; 這就是初始化的目的。
6， 集合的合並
既然，我們根據樹和根節點來作為集合的判斷依據，那么，如果我們要合並集合a和集合b，其實就是合並樹a和樹b。所以我們只需要將樹a的根指向樹b的根，或者將樹b的根指向樹a就可以了。
7， 由於在合並集合的時候，我們對邊的順序是沒有要求的。這種連接方式，並不能正確表示原來圖的結構，只能表示點的連通關系。
8， 代碼
#define _CR_SECURE_NO_WARNINGS #include<stdio.h> #include<stdlib.h> #include<string.h> #define N 10 int p[N]; int find(int x) // 找到根節點 { int t = x; while (p[t] != -1) t = p[t]; return t; } int join(int x, int y) // 合並兩個集合 { x = find(x), y = find(y); if (x == y) return 0; p[x] = y; return 1; } int main(void) { memset(p, -1, sizeof(p)); // 初始化 int edges[7][2] = { // 邊集 {0,1},{1,2},{2,3},{4,5},{5,6},{1,4},{1,6} }; int f = 0; for (int i = 0; i < 7; i++) { int x = edges[i][0]; int y = edges[i][1]; if (join(x, y) == 0) { printf("存在環！\n"); f = 1; break; } } if (f == 0) printf("不存在環！\n"); system("pause"); return 0; }
三，按秩合並 與 路徑壓縮
1，目的：對上述算法中：“查找點的根”，這一步驟的時間復雜度的優化。
2，舉例說明：在集合合並的時候，在極端情況下會出現 0-1 1-2 2-3 3-4…… 這樣一直讓樹的深度增加的情況。
這種情況就會導致點在查找根的時候，時間復雜度的增加。
3，所以，為了降低算法的時間復雜度，有人提出了壓縮路徑和按秩合並的思想。
4，按秩合並
① 秩：這里指樹的深度。算法使用 rank 數組來記錄樹的深度，如 rank[x] = y 表示 以 x 點為根結點的樹的深度為 y。
② 算法未開始時，此時所有的樹只有一個點，沒有邊，所以每個點的深度為 0，所以rank數組初始化為全0
③ 算法開始合並時，比較要合並的兩棵樹的深度。
當兩棵樹的深度不一致時，讓低的樹的根指向高的樹的根，這樣新合並的樹的高度就等於之前高的樹的深度，而不會再度增加。
當兩棵樹的深度一致時，隨便讓一棵樹的根指向另一棵樹的根，這樣新合並的樹的高度就等於之前樹的深度加上1，而不會增加很多。
④ 代碼
#define _CR_SECURE_NO_WARNINGS #include<stdio.h> #include<stdlib.h> #include<string.h> #define N 10 int p[N], rank[N]; int find(int x) // 找到根節點 { int r = x; while (p[r] != -1) r = p[r]; return r; } int join(int x, int y) // 合並兩個集合 { x = find(x), y = find(y); if (x == y) return 0; if (rank[x] > rank[y]) // 讓低的指向高的 p[y] = x; else if (rank[x] < rank[y]) p[x] = y; else { p[x] = y; rank[y]++; } return 1; } int main(void) { memset(p, -1, sizeof(p)); // 初始化 memset(rank, 0, sizeof(rank)); int edges[7][2] = { // 邊集 { 0,1 },{ 1,2 },{ 2,3 },{ 4,5 },{ 5,6 },{ 1,4 },{ 1,6 } }; int f = 0; for (int i = 0; i < 7; i++) { int x = edges[i][0]; int y = edges[i][1]; if (join(x, y) == 0) { printf("存在環！\n"); f = 1; break; } } if (f == 0) printf("不存在環！\n"); system("pause"); return 0; }
5，壓縮路徑
① 直接在每一次查找某一點的根節點后，將該點到根節點的路徑上的所有點指向根節點。
② 不過這種壓縮路徑存在一定的延遲，即兩個集合剛合並后，你並沒有完成壓縮路徑，而是在查找時，才會去壓縮路徑。
正如圖中，剛開始並沒有用到除了根節點的點，所以一直沒有壓縮路徑。
一直到“取1-4”，此時點1和點4都不是根節點，所以在合並之前的查找，它會將點1到根節點路徑上的點指向它的根節點3，將點4到根節點路徑上的點指向它的根節點6。、
最后，壓縮完路徑的兩個樹在進行合並。
③ 代碼
#define _CR_SECURE_NO_WARNINGS #include<stdio.h> #include<stdlib.h> #include<string.h> #define N 10 int p[N]; int find(int x) // 找到根節點 { int r = x; while (p[r] != -1) r = p[r]; while (x != r) { int t = p[x]; p[x] = r; x = t; } return x; } int join(int x, int y) // 合並兩個集合 { x = find(x), y = find(y); if (x == y) return 0; p[x] = y; return 1; } int main(void) { memset(p, -1, sizeof(p)); // 初始化 int edges[7][2] = { // 邊集 {0,1},{1,2},{2,3},{4,5},{5,6},{1,4},{1,6} }; int f = 0; for (int i = 0; i < 7; i++) { int x = edges[i][0]; int y = edges[i][1]; if (join(x, y) == 0) { printf("存在環！\n"); f = 1; break; } } if (f == 0) printf("不存在環！\n"); system("pause"); return 0; }
#define _CR_SECURE_NO_WARNINGS #include<stdio.h> #include<stdlib.h> #include<string.h> #define N 10 int p[N]; int find(int x) { if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]); return p[x]; } int join(int x, int y) // 合並兩個集合 { x = find(x), y = find(y); if (x == y) return 0; p[x] = y; return 1; } int main(void) { for (int i = 0; i < N; i++) // 初始化 p[i] = i; int edges[7][2] = { // 邊集 { 0,1 },{ 1,2 },{ 2,3 },{ 4,5 },{ 5,6 },{ 1,4 },{ 1,6 } }; int f = 0; for (int i = 0; i < 7; i++) { int x = edges[i][0]; int y = edges[i][1]; if (join(x, y) == 0) { printf("存在環！\n"); f = 1; break; } } if (f == 0) printf("不存在環！\n"); system("pause"); return 0; }
其中，第二個代碼是用遞歸實現 find函數，搜索時找根節點，回溯時壓縮路徑。
而且初始化為-1時，不能用遞歸實現，因為要指向根節點，如果初始化為自身則可以將返回值作為根節點，-1則不行。
四，按秩合並 + 路徑壓縮
① 只是簡單的將兩個函數放在一起，不同做什么特殊處理
② 明明壓縮路徑的時候，改變了樹高，那么，為什么rank數組不需要維護？
答：不太清楚。應該是相對高度不變吧。
③ 代碼
#define _CR_SECURE_NO_WARNINGS #include<stdio.h> #include<stdlib.h> #include<string.h> #define N 10 int p[N], rank[N]; int find(int x) { if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]); return p[x]; } int join(int x, int y) // 合並兩個集合 { x = find(x), y = find(y); if (x == y) return 0; if (rank[x] > rank[y]) // 讓低的指向高的 p[y] = x; else if (rank[x] < rank[y]) p[x] = y; else { p[x] = y; rank[y]++; } return 1; } int main(void) { for (int i = 0; i < N; i++) // 初始化 p[i] = i; memset(rank, 0, sizeof(rank)); int edges[7][2] = { // 邊集 { 0,1 },{ 1,2 },{ 2,3 },{ 4,5 },{ 5,6 },{ 1,4 },{ 1,6 } }; int f = 0; for (int i = 0; i < 7; i++) { int x = edges[i][0]; int y = edges[i][1]; if (join(x, y) == 0) { printf("存在環！\n"); f = 1; break; } } if (f == 0) printf("不存在環！\n"); system("pause"); return 0; }
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菩薩蠻 其三 唐 韋庄
如今卻憶江南樂，當時年少春衫薄。騎馬倚斜樓，滿樓紅袖招。
翠屏金屈曲，醉入花叢宿。此度見花枝，白頭誓不歸。