量子計算機編程(三)——量子應用

本文轉載自查看原文 2020-03-14 20:07 2330 量子編程

量子計算機編程(一)——QPU編程
 量子計算機編程(二)——QPU基礎函數
 量子計算機編程(三)——量子應用

量子編程一層層搭建，最后是應用層

都到應用了，肯定會涉及數據，本節內容主要包括，量子數據、量子搜索、量子超級采樣、Shor算法、量子機器學習。

真實數據

和數據有關的討論一般圍繞在兩個方面，存儲和表示。

QRAM

本書沒有討論QRAM如何制造，只是提了用法。

和普通的QRAM有一個重要區別，地址也可以是疊加態。

表示

小數：我們可以借鑒經典的手法，就像經典里面如何表達浮點數的一樣，我們也這樣來表述量子的小數，\(Q_{n.m}\)n位的數據，其中m位是小數，（n-m）位是整數。

向量： [0,1,2,3]這個向量要怎么表示？

最基礎的：

很容易理解，但是也很浪費空間，沒有用到量子自身的特性。

amplitude encoding for vectors：

這個就利用了量子的性質，不過他也有自己的局限性：

量子疊加態基本就是 unREADable 的
因為概率需要歸一化，所以他能表示的態也需要歸一化

矩陣：

整體思路是用opertate來表示矩陣：

不過這里有兩個限制：operator只能unitary的，矩陣不僅不一定是unitary，都不一定是hermitian的。解決方案如下：

不是hermitian的矩陣，可以構建成hermitian，通過 \(H=\left[\begin{array}{ll}0 & X \\ X^{\dagger} & 0\end{array}\right]\)

Deconstruct \(H=H_{1}+\ldots H_{n}\) 把H分解成更容易模擬的hermitian（也就是更容易執行第二步）
Simulate components \(U=\exp (-i H t)\) 操作只有unitary的操作，但是矩陣可以把他們聯系到一起
Reconstruction 把得到的U乘起來，因為H是在指數上分解的，所以這里直接乘起來就可以

量子搜索Quantum Search (QS)

Phase Logic ，我們不僅可以改變他們的0或者1，還可以通過01來改變量子態的相位，就像這樣：

相位邏輯和其他邏輯最大的區別就是他把操作結果隱藏到了unreadable的相位里，通過改變疊加態里的相位，我們可以在一組寄存器里標記很多的態，並且還能通過AA之類的方法提取出來。

輸入值還是那些量子態，輸出值則被編碼到了相對相位里。

那么這些是怎么完成的呢？簡單的相位邏輯的組件：

所以這個有什么用？

圍觀一個小公主找國王爸爸要禮物的例子：

小公主想要一只小貓咪，爸爸就給了他兩個盒子，盒子A說：至少有一個盒子有貓咪，盒子B說：另一只盒子有老虎。

爸爸又說，這兩個盒子要么同時為真，要么同時為假。

於是我們的小公主殿下搞出了這么一個數字邏輯：

這樣，跑把四種可能性都跑一遍，輸出為1就滿足了邏輯。

但是爸比就是很喜歡為難他的小可愛，他給公主提出一個要求，這個裝置只能跑一次。

於是小公主就搞了一個量子版本：

首先，用量子的把實驗跑一遍，相對相位上把答案翻轉，然后做實驗的逆操作（所有的量子操作都是可逆的），現在答案就寫在\(|00\rangle,|01\rangle|10\rangle|11\rangle\)的相對相位里，再grover把他們找到。

實驗在這里，https://oreilly-qc.github.io/?p=10-2

把答案翻轉后的狀態：

把答案 uncompute后：

Grover mirror 后：

量子超采樣

超采樣是什么？

簡單的說，這是抗鋸齒的一種方法，電腦顯示的圖片由像素組成，一條線如果不是完全水平或者豎直，那么表現出來就會有鋸齒，超采樣就是在像素內部的多個實例處（而不是像正常情況一樣在中心處）獲取顏色樣本，然后計算平均顏色值。通過以比顯示的圖像高得多的分辨率渲染圖像，然后使用多余的像素進行計算將其縮小到所需的大小，以此達到目的。

這項任務，我們執行並行處理（計算與場景交互的許多光線的結果），但最終僅需要結果的總和，而不是單個結果本身。（聽起來就可以量子加速）

那么量子處理器在這里能做些什么嗎？

不過首先，在應用QSS之前，我們要知道如何用量子寄存器來表示圖像。

這樣就擁有一張畫布，我們可以通過相位翻轉來改變他們的顏色，我們在上面施加的操作就是畫筆。

如果想要畫曲線怎么辦：https://oreilly-qc.github.io/?p=11-2 這是一個畫了曲線的例子。

現在我們來討論超級采樣，對於每個圖塊，我們要估計已被相位翻轉的子像素的數量。在黑白子像素（為我們表示為翻轉或非翻轉相位）的情況下，這使我們能夠為每個最終像素獲取一個代表其原始組成子像素強度的值。

此問題與前面“多個翻轉項”中的“量子和估計”問題完全相同。要使用量子和估計，我們僅將實現繪制指令的量子程序視為用於翻轉子程序的幅度放大量子程序。將其與第7章中的量子傅立葉變換相結合，可以近似估算每個圖塊中翻轉的子像素的總數。

不過這樣得到值不是確定的翻轉的數目，我們需要將這個值和look up table結合着來看。

如果還在考慮顏色問題，那就是RGB各來一張圖就好。

Shor算法

因數分解究竟在做什么，大家可以看一眼這個因數分解算法、周期查找算法（簡化）

默認大家看完有了大概了解，現在來看一個具體例子：因數分解15=3*5

代碼是簡單的調用

var N = 15;             // The number we're factoring 
var precision_bits = 4; // See the text for a description of this 
var coprime = 2;        // For this QPU implementation, this must be 2
var result = Shor(N, precision_bits, coprime);

整個過程一共有八步，•Steps 1–4制備 \(a^x mod(N)\) 的疊加態，Steps 5–6 量子傅里葉找到周期 Steps 7–8 拿到周期后計算因數

Step 1: Initialize QPU Registers
Step 2: Expand into Quantum Superposition

前面兩個步驟結束后就是紅色箭頭這里，現在量子態的狀態如下：

Step 3: Conditional Multiply-by-2

這一步是用來計算\(2^x\)，任何的二進制寄存器都可通過簡單的移位實現2的乘積（或者實際上是2的任何冪）。在我們的例子中，每個量子位都與下一個最高加權位置交換。需要注意的是我們將只使用精度寄存器的兩個最低權重的量子位來表示x的值（這意味着x可以取值0、1、2、3）,線路為圖上iter0

Step 4: Conditional Multipy-by-4

線路為圖上iter1，目前我們已經得到了\(a^x\),對於我們考慮過的特定示例，我們的電路設法自動處理模數。

乘2和乘4后量子態的狀態如下：

Step 5: Quantum Fourier Transform

Step 6: Read the Quantum Result

測量，我們測量的結果可能是0、4、8、12中的任意一個，他們是等概率25%

Step 7: Digital Logic

function ShorLogic(N, repeat_period, coprime) {    // Given the repeat period, find the actual factors    
var ar2 = Math.pow(coprime, repeat_period / 2.0);    
var factor1 = gcd(N, ar2 - 1);    
var factor2 = gcd(N, ar2 + 1);    
return [factor1, factor2]; 
}

把4丟到這里面去算，得到的結果是3，5

Step 8: Check the Result

量子機器學習

在這里我們將要介紹三種QML應用：線性方程組的求解，量子主成分分析和量子支持向量機。

HHL解線性方程

線性方程很容易變成矩陣乘法的形式\(\overrightarrow{\mathbf{A}} \vec{x}=\vec{b}\) ，求解線性方程也就是\(\vec{x}=\mathbf{A}^{-1} \vec{b}\)

而HHL提供了一種比共軛梯度下降法更快地方式來找矩陣的逆。

Scratch register 也就是輔助比特包含由HHL中的各種基元使用的許多臨時量子位，所有臨時量子位均以“ 0”狀態准備。因為HHL處理定點（或浮點）數據並且涉及非平凡的算術運算（例如取平方根），所以我們需要大量的臨時qubit。即使最簡單的情況，這也使得HHL難以仿真。

當然如果我們得到了疊加態\(|x\rangle\)，也不是里面每一個數據都能讀出來，但是在有的情況下，我們並不需要里面的每一個值，比如：

我們可能不需要\(|x\rangle\)的每個分量的值，而是他們平均值或者和
或者我們只想要比較一下看是否等於
或者\(|x\rangle\)只是程序下一部分的輸入

這個算法的時間復雜度是\(O\left(x^{2} s^{2} \epsilon^{-1} \log n\right)\)

HHL算法適合於求解由稀疏，條件良好的矩陣表示的線性方程組。

那具體HHL又是怎么做的呢是怎么做到的？

HHL的靈感來自特征值分解來獲得矩陣逆的信息，一個栗子：

\[A=\left|\begin{array}{ll} 2 & 2 \\ 2 & 3 \end{array}\right|, \quad \vec{z}=\left|\begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array}\right|\]

A的特征向量為\(v_1 = [−0.7882,0.615]\) and \(v_2 = [−0.615, −0.788]\),對應的特征值為 λ1 = 0.438 and λ2 = 4.56，那么，在特征基的表示下，我們可以把z改寫成 [−0.788, −0.615]，因為\(\vec{z}=-0.788 \vec{v}_{1}-0.615 \vec{v}_{2}\)

而A可以改寫成：\(\Lambda=\left[\begin{array}{cc}0.438 & 0 \\ 0 & 4.56\end{array}\right]\)

現在求逆就很容易了，\(\mathbf{A}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{0.438} & 0 \\ 0 & \frac{1}{4.56}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}2.281 & 0 \\ 0 & 0.219\end{array}\right]\)

那么，\(\vec{x}=\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{\lambda_{1}} & - & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & - & \frac{1}{\lambda_{n}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\dot{b}_{1} \\ \vdots \\ \tilde{b}_{n}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\frac{1}{\lambda_{1}} \dot{b}_{1} \\ \vdots \\ \frac{1}{\lambda_{n}} \dot{b}_{n}\end{array}\right]\)