以前學習java的時候，二進制和位運算只停留在"懂"的程度，從來沒有花時間去推導和總結，作為一個數學系的學生，一直想花點時間做推理證明
java和python關於二進制和位運算的規則差不多，這次就當是補償
一、符號約定
⌊p⌋：比p小的最大整數，稱為向下取整
⌈p⌉：比 p大的最小整數，稱為向上取整
xi：x在二進制下的第i位數
二、二進制表示
截取的 這位博主 的圖，推導過程使用求和公式來計算，思路差不多
n這樣理解：使得10n <= x 的最大的n值，bi的取值是一個集合
三、移位運算<< 和 >>
1、x,⌊x/2⌋,2x在二進制之間的關系
2、推導結論
結論一：x << k = 2kx
結論二: x >> k = ⌊x/2k⌋
結論三：二進制的遞推公式，這里理解下即可，python中用bin(n)函數可以直接打出n的二進制，如bin(123)打印為 0b1111011
這點同java的
Integer.toBinaryString(n),結果也是以0b開頭
四、按位運算
位運算符只能適用於整數，總體運算規則為：
首先把整數轉換為二進制表示形式，按最低位對齊，短的高位補0，然后進行位運算，最后把得到的二進制轉換為十進制結果
以下四種：&，|，^，~，分別是與，或，異或，取反
具體的例子就不說了，記幾個思路清奇的應用
1、判斷奇偶數
def isodd(x): return True if (x & 1) else False
2、求下標x和y的中間值
比如二分查找中的mid = (low+high) // 2 = (low+high) >>1
3、異或運算交換a和b的值
a ^= b b ^= a a ^= b
4、異或運算找出單身漢
在2N+1個自然數中，有N個數均出現2次，找出只出現1次的那個自然數
方案：所有數做異或計算，最終的結果就是要找的那個數