PID庫與PID基本優化（二）

本系列旨在以我自己寫的PID lib為例，講一下PID的幾點基本優化，PID的基本原理網上有很多資料，因此本系列將不會涉及PID的基本實現原理，在這里特別推薦Matlab tech talk的PID教程：https://ww2.mathworks.cn/videos/series/understanding-pid-control.html。

由於筆者大一在讀，還沒有學習自動控制原理等課程，因此本系列將不會從自控原理角度展開，相反的，本系列將試圖從“直覺”展開，通過直觀的描述讓大家從直覺上感受並理解PID的一些包括微分先行、積分分離等基礎的優化。

由於筆者水平有限，文中難免存在一些不足和錯誤之處，誠請各位批評指正。

我的PID庫與PID基本優化（一）中講解了代碼結構與代碼使用，算法有關內容於該篇開始

1 梯形積分

1.1 問題

積分項的作用在絕大多數情況下是消除靜差，為了更精准的消除靜差，我們需要提高積分項的計算精度。在一般的PID算法中，我們通過矩形面積來近似計算積分，在微積分中我們了解到，當 \(\Delta t\) 趨近於無窮小時，這些矩形面積的累加就會無限逼近曲線與坐標軸圍成的面積。

1.2 解決方案

為了達到更精准的控制，我們一般可以通過提高控制頻率來實現，但在某些情況下受制於控制設備算力，我們無法以很高的頻率來運行我們的算法。因此我們可以用梯形代替矩形，以此獲得更高的積分精度，這種方式在控制頻率越低的場合提高精度的效果越好。

1.3 代碼實現

static void f_Trapezoid_Intergral(PID_TypeDef *pid)
{
    pid->ITerm = pid->Ki * ((pid->Err + pid->Last_Err) / 2);
}

2 微分先行

2.1 問題

在常規PID中，微分項是微分系數乘誤差的微分，而誤差的微分又可以化成目標信號的微分減去輸入（測量值）的微分，即：

\[Dout = Kd *\frac{d \text { Err }}{d t}=Kd*(\frac{d \text { Target }}{d t}-\frac{d \text { Input }}{d t}) \]

當目標信號瞬間發生變化時，其微分會變得非常非常大，這會導致微分項的值也在瞬間變得巨大。這樣異常的微分項添加至控制算法中，會導致PID的輸出出現我們不希望看到的峰值，這樣的峰值可能會影響系統的穩定性，甚至對執行器或者系統其他部分造成損壞，我們稱這種現象為微分沖擊（Derivative Kick）。

如下圖所示，微分沖擊會使被控對象發生瞬間的抖動，通過觀察PID輸出與微分項輸出，我們可以直觀感受到微分沖擊的威力：

將圖像2放大來看，在階躍信號剛產生時，微分項會給整個輸出帶來巨大的尖峰：

2.2 解決方案

通過公式我們可以看到，是目標信號的微分引入的異常數值，因此我們只需要扔掉目標信號的微分，只保留輸入（測量值）的微分（注意不要漏掉符號）：

\[Dout =-Kd*\frac{d \text { Input }}{d t} \]

經過對微分項的一點點調整，我們可以看到，現在的控制曲線變得更加平滑，PID的輸出也不會出現異常的峰值：

2.3 代碼實現

static void f_Derivative_On_Measurement(PID_TypeDef *pid)
{
    pid->Dout = pid->Kd * (pid->Last_Measure - pid->Measure);
}