The chess knight has a unique movement, it may move two squares vertically and one square horizontally, or two squares horizontally and one square vertically (with both forming the shape of an L). The possible movements of chess knight are shown in this diagaram:
A chess knight can move as indicated in the chess diagram below:
We have a chess knight and a phone pad as shown below, the knight can only stand on a numeric cell (i.e. blue cell).
Given an integer n, return how many distinct phone numbers of length n we can dial.
You are allowed to place the knight on any numeric cell initially and then you should perform n - 1 jumps to dial a number of length n. All jumps should be valid knight jumps.
As the answer may be very large, return the answer modulo 109 + 7.
Example 1:
Input: n = 1
Output: 10
Explanation: We need to dial a number of length 1, so placing the knight over any numeric cell of the 10 cells is sufficient.
Example 2:
Input: n = 2
Output: 20
Explanation: All the valid number we can dial are [04, 06, 16, 18, 27, 29, 34, 38, 40, 43, 49, 60, 61, 67, 72, 76, 81, 83, 92, 94]
Example 3:
Input: n = 3
Output: 46
Example 4:
Input: n = 4
Output: 104
Example 5:
Input: n = 3131
Output: 136006598
Explanation: Please take care of the mod.
Constraints:
1 <= n <= 5000
這道題說是有一種騎士撥號器，在一個電話撥號盤上跳躍，其跳躍方式是跟國際象棋中的一樣，不會國際象棋的童鞋可以將其當作中國象棋中的馬，馬走日象飛田。這個騎士可以放在 10 個數字鍵上的任意一個，但其跳到的下一個位置卻要符合其在國際象棋中的規則，也就是走日。現在給了一個整數N，說是該騎士可以跳N次，問能撥出多個不同的號碼，並且提示了結果要對一個超大數字取余。看到這里，對於各位刷題老司機來說，肯定能反應過來要用動態規划 Dynamic Programming 了吧，因為數字可能巨大無比，強行暴力遞歸破解可能會爆棧。這里使用一個二維數組 dp，其中 dp[i][j] 表示騎士第i次跳到數字j時組成的不同號碼的個數，那么最終所求的就是將 dp[N-1][j] 累加起來，j的范圍是0到9。接下來看狀態轉移方程怎么寫，當騎士在第i次跳到數字j時，考慮其第 i-1 次是在哪個位置，可能有多種情況，先來分析撥號鍵盤的結構，找出從每個數字能到達的下一個位置，可得如下關系：
0 -> 4, 6
1 -> 6, 8
2 -> 7, 9
3 -> 4, 8
4 -> 3, 9, 0
5 ->
6 -> 1, 7, 0
7 -> 2, 6
8 -> 1, 3
9 -> 4, 2
可以發現，除了數字5之外，每個數字都可以跳到其他位置，其中4和6可以跳到三個不同位置，其他都只能取兩個位置。反過來想，可以去的位置，就表示也可能從該位置回來，所以根據當前的位置j，就可以在數組中找到上一次騎士所在的位置，並將其的 dp 值累加上即可，這就是狀態轉移的方法，由於第一步是把騎士放到任意一個數字上，就要初始化 dp[0][j] 為1，然后進行狀態轉移就行了，記得每次累加之后要對超大數取余，最后將 dp[N-1][j] 累加起來的時候，也要對超大數取余，參見代碼如下：
解法一：
class Solution {
public:
int knightDialer(int N) {
int res = 0, M = 1e9 + 7;
vector<vector<int>> dp(N, vector<int>(10));
vector<vector<int>> path{{4, 6}, {6, 8}, {7, 9}, {4, 8}, {3, 9, 0}, {}, {1, 7, 0}, {2, 6}, {1, 9}, {4, 2}};
for (int i = 0; i < 10; ++i) dp[0][i] = 1;
for (int i = 1; i < N; ++i) {
for (int j = 0; j <= 9; ++j) {
for (int idx : path[j]) {
dp[i][j] = (dp[i][j] + dp[i - 1][idx]) % M;
}
}
}
for (int i = 0; i < 10; ++i) res = (res + dp.back()[i]) % M;
return res;
}
};
我們也可以用遞歸+記憶數組的方式來寫，整體思路和迭代的方法並沒有什么區別，之前類似的題目也不少，就不多解釋了，可以對照上面的講解和代碼來理解，參見代碼如下：
解法二：
class Solution {
public:
int knightDialer(int N) {
int res = 0, M = 1e9 + 7;
vector<vector<int>> memo(N + 1, vector<int>(10));
vector<vector<int>> path{{4, 6}, {6, 8}, {7, 9}, {4, 8}, {3, 9, 0}, {}, {1, 7, 0}, {2, 6}, {1, 9}, {4, 2}};
for (int i = 0; i < 10; ++i) {
res = (res + helper(N - 1, i, path, memo)) % M;
}
return res;
}
int helper(int n, int cur, vector<vector<int>>& path, vector<vector<int>>& memo) {
if (n == 0) return 1;
if (memo[n][cur] != 0) return memo[n][cur];
int res = 0, M = 1e9 + 7;
for (int idx : path[cur]) {
res = (res + helper(n - 1, idx, path, memo)) % M;
}
return memo[n][cur] = res;
}
};
Github 同步地址:
https://github.com/grandyang/leetcode/issues/935
類似題目：
Letter Combinations of a Phone Number
參考資料：
https://leetcode.com/problems/knight-dialer/
https://leetcode.com/problems/knight-dialer/discuss/189265/Concise-Java-DP-Solution
https://leetcode.com/problems/knight-dialer/discuss/189271/Java-Top-Down-Memo-DP-O(N)