Java實現：求兩個數的最大公約數

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title: Java實現：求兩個數的最大公約數
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  abbrlink: f202
  date: 2019-12-07 16:44:58

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求解兩個數的最大公約數的幾種方法的比較

1. 暴力枚舉法

• 優點：思路簡單

• 缺點：運算次數多，效率低

• 極端例子：求1000和10001的最大公約數

  需要計算1000/2 - 1 = 4999次

	// 暴力枚舉法
	public static int getGreatestCommonDivisor(int a,int b) {
        int big = a > b ? a : b;
        int small = a < b ? a : b;
        if (big % small == 0) {
            return small;
        }
        for (int i = small / 2; i > 1; i--) {
            if (big % i == 0 && small % i == 0) {
                return i;
            }
        }
        return 1;
    }

2. 輾轉相除法

• 優點：運算次數少
• 確定：模運算的開銷較大

    // 輾轉相除法
    public static int getGreatestCommonDivisor2(int a, int b) {
        int big = a > b ? a : b;
        int small = a < b ? a : b;
        if (big % small == 0) {
            return small;
        }
        return getGreatestCommonDivisor2(big % small, small);
    }

3. 更相減損法

• 優點：避免了取模運算，采用減法運算，開銷較小
• 缺點：算法性能不穩定，運算次數多
• 極端例子：兩數相差懸殊時，如求1和10001的最大公約數，需要遞歸9999次

    // 更相減損法
    public static int getGreatestCommonDivisor3(int a, int b) {
        if(a == b){
	    return a;
	}
	int big = a > b ? a : b;
        int small = a < b ? a : b;
        return getGreatestCommonDivisor2(big - small, small);
    }

4. 結合輾轉相除法和更相減損法（位運算優化）

當a和b均為偶數時，gcd(a,b) = 2×gcd(a/2,b/2) = 2×gcd(a >>１，ｂ＞＞１)。

當a為偶數，b為奇數時，gcd(a,b) = gcd(a/2,b) = gcd(a >>１，ｂ)。

當a為奇數，b為偶數時，gcd(a,b) = gcd(a,b／２) = gcd(a ，ｂ>>１)。

當a和b均為奇數時，先利用更相減損法運算一次，gcd(a,b) = gcd(ａ－ｂ,b)，此時ａ－ｂ必然是偶數，接而繼續進行移位運算。

• 優點：不但避免了取模運算，而且算法性能穩定
• 缺點：代碼比較復雜

	//更相減損法（位運算優化）
    public static int getGreatestCommonDivisor4(int a, int b) {
        if (a == b) {
            return a;
        }
        if ((a & 1) == 0 && (b & 1) == 0) {// a,b都是偶數
            return getGreatestCommonDivisor4(a >> 1, b >> 1) << 1;
        } else if ((a & 1) == 0 && (b & 1) != 0) {// a為偶數，b為奇數
            return getGreatestCommonDivisor4(a >> 1, b);
        } else if ((a & 1) != 0 && (b & 1) == 0) {// a為奇數，b為偶數
            return getGreatestCommonDivisor4(a, b >> 1);
        } else {// a,b都是奇數
            int big = a > b ? a : b;
            int small = a < b ? a : b;
            return getGreatestCommonDivisor4(big - small, small);
        }
    }

5. 時間復雜度

• 暴力枚舉法：O(min(a,b))
• 輾轉相除法：近似於O（log(max(a,b))）
• 更相減損法: O(max(a,b))
• 結合輾轉相除法和更相減損法（位運算優化）：O（log(max(a,b))）

6. 完整代碼

package gcd;

public class GreatestCommonDivisor {
    public static void main(String[] args) {
        System.out.println(getGreatestCommonDivisor(75, 180));
        System.out.println(getGreatestCommonDivisor2(75, 180));
        System.out.println(getGreatestCommonDivisor3(75, 180));
        System.out.println(getGreatestCommonDivisor4(75, 180));
    }

    // 暴力枚舉法
    public static int getGreatestCommonDivisor(int a,int b) {
        int big = a > b ? a : b;
        int small = a < b ? a : b;
        if (big % small == 0) {
            return small;
        }
        for (int i = small / 2; i > 1; i--) {
            if (big % i == 0 && small % i == 0) {
                return i;
            }
        }
        return 1;
    }

    // 輾轉相除法
    public static int getGreatestCommonDivisor2(int a, int b) {
        int big = a > b ? a : b;
        int small = a < b ? a : b;
        if (big % small == 0) {
            return small;
        }
        return getGreatestCommonDivisor2(big % small, small);
    }

    // 更相減損法
    public static int getGreatestCommonDivisor3(int a, int b) {
        int big = a > b ? a : b;
        int small = a < b ? a : b;
        if (big % small == 0) {
            return small;
        }
        return getGreatestCommonDivisor2(big - small, small);
    }

    //更相減損法（位運算優化）
    public static int getGreatestCommonDivisor4(int a, int b) {
        if (a == b) {
            return a;
        }
        if ((a & 1) == 0 && (b & 1) == 0) {// a,b都是偶數
            return getGreatestCommonDivisor4(a >> 1, b >> 1) << 1;
        } else if ((a & 1) == 0 && (b & 1) != 0) {// a為偶數，b為奇數
            return getGreatestCommonDivisor4(a >> 1, b);
        } else if ((a & 1) != 0 && (b & 1) == 0) {// a為奇數，b為偶數
            return getGreatestCommonDivisor4(a, b >> 1);
        } else {// a,b都是奇數
            int big = a > b ? a : b;
            int small = a < b ? a : b;
            return getGreatestCommonDivisor4(big - small, small);
        }
    }
}

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參考《漫畫算法-小灰的算法之旅》