平衡二叉樹的判斷

如何判斷是否為平衡二叉樹？

答：每個節點的左右子樹高度差的絕對值小於等於1，我們認為該二叉樹平衡；

​ 只要有一個節點的左右子樹高度差絕對值大於1，我們認為這顆二叉樹不平衡。

因此，判斷一棵樹是否平衡，需要計算樹的高度以及判斷高度差。

下面介紹兩種判斷平衡二叉樹的方式：自頂向下，自底向上。

樹節點的定義

/**
 * Definition for a binary tree node.
 * struct TreeNode {
 *     int val;
 *     TreeNode *left;
 *     TreeNode *right;
 *     TreeNode(int x) : val(x), left(NULL), right(NULL) {}
 * };
 */

自頂向下

偽碼描述

int getHeight(TreeNode* root){
    if(root為空節點) return 0;
    return 左子樹與右子樹的最大高度+1;
}
bool isBalanced(TreeNode* root){
    if(root為空節點) return ture;
    if(左子樹為平衡樹且右子樹為平衡樹)
        if(左子樹與右子樹的高度差小於2)
            return true;
    return false;
}

Talk is cheap . Show me the code

int getHeight(TreeNode* root){
	if(root==NULL) return 0;
	return max(getHeight(root->right),getHeight(root->left))+1;
}

bool isBalanced(TreeNode* root) {
	if(root==NULL) return true;
	if(isBalanced(root->left)&&isBalanced(root->right))
		if(abs(getHeight(root->left)-getHeight(root->right))<2)
			return true;
    return false;
}

算法分析：

時間復雜度：

\[O(n\log n) \]

空間復雜度：

\[O(n) \]

這不是最優算法，出現了很多冗余計算，getHeight函數顯然要被重復調用很多次。計算每一個節點的時候，都重復計算了子節點的高度，浪費計算機算力，重復計算已經計算過的結果顯然是不合適的。

解決的辦法也呼之欲出，將每次計算出的高度傳出來保存不就好了？

於是有了下面自底向上的方法。這樣可以充分利用每次計算的高度的結果，降低計算量。

自底向上

偽碼描述

int isBalancedHelper(TreeNode* root,int& height){
    if(root為空節點){
        height=0;
        return true;
    }
    int left,right;
    if(判斷右子樹是否是平衡數並把高度賦給right&&判斷左子樹是否是平衡數並把高度賦給left)
        if(left與right的差的絕對值小於2){
            height=left與right的最大值+1;
            return true;
        }
    return false;
}
bool isBalanced(TreeNode* root) {
    int height=0;
    return isBalancedHelper(root,height);
}

Talk is cheap . Show me the code

int isBalancedHelper(TreeNode* root,int& height){
    if(root==NULL){
        height=0;
        return true;
    }
    int left,right;
    if(isBalancedHelper(root->right,right)&&isBalancedHelper(root->left,left){
        if(abs(left-right)<2)){
            height=max(left,right)+1;
            return true;
        }
    }
    return false;
}
bool isBalanced(TreeNode* root) {
    int height=0;
    return isBalancedHelper(root,height);
}

算法分析：

時間復雜度：

\[O(n) \]

空間復雜度：

\[O(n) \]

自底向上每次判斷都把高度傳了出去，並且每一次計算都充分利用子節點的高度數據，沒有進行重復計算，在不提升空間復雜度的情況下，降低了整個算法的時間復雜度。