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蒙特卡洛算法
使用概率來求π（圓周率）和定積分，在不使用任何公式和特殊計算方法的前提下，實現小數點后多位的准確率，真的驚艷到我了。
我第一次接觸蒙特卡洛算法，是在做數據采樣的時候，這個名字是20世紀40年代美國在第二次世界大戰中研制原子彈的“曼哈頓計划”計划的成員烏拉姆和馮·諾伊曼首先提出。馮·諾伊曼用馳名世界的賭城—摩納哥的Monte Carlo來命名。
但其實早在1777年，法國數學家布豐提出用投針實驗的方法求圓周率，就已經用到了蒙特卡羅法，只是那個時候並沒有特別命名。
什么是蒙特卡洛法？
假如籃子里有1000個蘋果，讓你每次閉着眼睛找一個最大的，可以不限制挑選次數。於是，你可以閉着眼隨機拿了一個，然后再隨機拿一個與第一個比，留下大的，再隨機拿一個，與前次留下的比較，又可以留下大的。循環往復這樣，拿的次數越多，挑出最大蘋果的可能性也就越大，但除非你把1000個蘋果都挑一遍，否則你無法肯定最終挑出來的就是最大的一個。
也就是說，蒙特卡洛算法是樣本越多，越能找到最佳的解決辦法，不過不保證是最好的，因為如果有10000個蘋果的話，說不定就能找到更大的。
也就是，通過大量隨機樣本，不使用任何公式和計算方法，得到所要計算的值。接下來，我們用4個例子一起來看看蒙特卡洛法的應用吧。
例子1：求10000個整數的中位數
先從中抽取m個數，m<10000，把它們的中位數近似地看作這個集合的中位數。隨着m增大，近似結果是最終結果的概率也在增大。
例子2：求圓周率
給定一個邊長為1的正方形，其內部有一個相切的圓
根據高中知識，可以簡單算出它們的面積之比是π/4。
當我們在（0，1）的范圍內隨機選擇一個坐標（x, y）時，每個坐標點被選中的概率相等。則坐標落在直徑為1的正方形中的圓的概率為：
由切比雪夫不等式可知，在生成大量隨機點的前提下我們能得到盡可能接近圓周率的值。
現在，在這個正方形內部，隨機產生10000個點（即10000個坐標對 (x, y)），計算它們與中心點的距離，從而判斷是否落在圓的內部。
如果這些點服從均勻分布，那么圓內的點應該占到所有點的 π/4，因此將這個比值乘以4，就是π的值。通過R語言隨機模擬30000個點，π的估算值與真實值相差0.07%。
例子3：設0≤f(x)≤1，求定積分
設隨機變量XX服從[0,1]上的均勻分布，則Y=f(X)的數學期望為
以估計J的值就是估計f(X)的數學期望值。由辛欽大數定律，可以用f(X)的觀察值的均值取估計f(X)的數學期望。具體做法：
先用計算機產生n個服從[0,1]上均勻分布的隨機數：
對每一個xi，計算f(xi)。然后計算
其精確值和用蒙特卡洛法得到的模擬值如下：
例子4：求自然底數e
首先考慮如下積分
接下來分別用蒙特卡洛積分和牛頓萊布尼茲公式計算，在蒙特卡洛方法中樣本很多時，它們的值應該相等。利用蒙特卡洛方法，圖像大致如下
上述積分的目的是求陰影部分的面積，所以先在所標矩形內取n對隨機點
對於每一對
考察是否滿足如下條件
假設滿足上述條件的點有 m個，而全部的點有 n 個，所以得到近似公式為
而依據牛頓萊布尼茲公式可以得到
這兩種方法結果應該是相等的，即有
參考文章
蒙特卡洛算法及其實現www.cnblogs.com蒙特卡洛方法與定積分計算 | 統計之都cosx.org
用蒙特卡羅方法求解圓周率_一笑而過_新浪博客blog.sina.com.cnCSDN-專業IT技術社區-登錄blog.csdn.net
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蒙特卡洛算法使用概率來求π（圓周率）和定積分，在不使用任何公式和特殊計算方法的前提下，實現小數點后多位的准確率，真的驚艷到我了。我第一次接觸蒙特卡洛算法，是在做數據采樣的時候，這個名字是20世紀40年代美國在第二次世界大戰中研制原子彈的“曼哈頓計划”計划的成員烏拉姆和馮·諾伊曼首先提出。馮·諾伊曼用馳名世界的賭城—摩納哥的Monte Carlo來命名。但其實早在1777年，法國數學家布豐提出用投針實驗的方法求圓周率，就已經用到了蒙特卡羅法，只是那個時候並沒有特別命名。
什么是蒙特卡洛法？
假如籃子里有1000個蘋果，讓你每次閉着眼睛找一個最大的，可以不限制挑選次數。於是，你可以閉着眼隨機拿了一個，然后再隨機拿一個與第一個比，留下大的，再隨機拿一個，與前次留下的比較，又可以留下大的。循環往復這樣，拿的次數越多，挑出最大蘋果的可能性也就越大，但除非你把1000個蘋果都挑一遍，否則你無法肯定最終挑出來的就是最大的一個。也就是說，蒙特卡洛算法是樣本越多，越能找到最佳的解決辦法，不過不保證是最好的，因為如果有10000個蘋果的話，說不定就能找到更大的。也就是，通過大量隨機樣本，不使用任何公式和計算方法，得到所要計算的值。接下來，我們用4個例子一起來看看蒙特卡洛法的應用吧。
例子1：求10000個整數的中位數先從中抽取m個數，m<10000，把它們的中位數近似地看作這個集合的中位數。隨着m增大，近似結果是最終結果的概率也在增大。
例子2：求圓周率給定一個邊長為1的正方形，其內部有一個相切的圓
根據高中知識，可以簡單算出它們的面積之比是π/4。
當我們在（0，1）的范圍內隨機選擇一個坐標（x, y）時，每個坐標點被選中的概率相等。則坐標落在直徑為1的正方形中的圓的概率為：
由切比雪夫不等式可知，在生成大量隨機點的前提下我們能得到盡可能接近圓周率的值。
現在，在這個正方形內部，隨機產生10000個點（即10000個坐標對 (x, y)），計算它們與中心點的距離，從而判斷是否落在圓的內部。
如果這些點服從均勻分布，那么圓內的點應該占到所有點的 π/4，因此將這個比值乘以4，就是π的值。通過R語言隨機模擬30000個點，π的估算值與真實值相差0.07%。
例子3：設0≤f(x)≤1，求定積分
設隨機變量XX服從[0,1]上的均勻分布，則Y=f(X)的數學期望為
以估計J的值就是估計f(X)的數學期望值。由辛欽大數定律，可以用f(X)的觀察值的均值取估計f(X)的數學期望。具體做法：先用計算機產生n個服從[0,1]上均勻分布的隨機數：
對每一個xi，計算f(xi)。然后計算
其精確值和用蒙特卡洛法得到的模擬值如下：
例子4：求自然底數e首先考慮如下積分
接下來分別用蒙特卡洛積分和牛頓萊布尼茲公式計算，在蒙特卡洛方法中樣本很多時，它們的值應該相等。利用蒙特卡洛方法，圖像大致如下
上述積分的目的是求陰影部分的面積，所以先在所標矩形內取n對隨機點
對於每一對
考察是否滿足如下條件
假設滿足上述條件的點有 m個，而全部的點有 n 個，所以得到近似公式為
而依據牛頓萊布尼茲公式可以得到
這兩種方法結果應該是相等的，即有
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