引言
KMP算法應該是看了一次又一次，比賽的時候字符串不是我負責，所以學到的東西又還給網上的博客了……
退役后再翻開看，看到模板，心想這不是\(O(n^2)\)的復雜度嗎？
有兩個循環也不能看做是\(O(n^2)\)的，這要用到攤還分析．
模板
這里用到的模板是算競上的
calc_next()
Next[1] = 0;
for (int i = 2, j = 0; i <= n; ++i) {
while (j > 0 && a[i] != a[j + 1]) j = Next[j];
if (a[i] == a[j + 1]) ++j;
Next[i] = j;
}
kmp()
for (int i = 1, j = 0; i <= m; ++i) {
while (j > 0 && (j == n || b[i] != a[j + 1]))j = Next[j];
if (b[i] == a[j + 1])++j;
f[i] = j;
}
可以發現上下兩個函數挺像的，Next[i]含義就是模式串以\(i\)結尾的子串([1..i]的后綴)與模式串的前綴能匹配的最長長度
證明
觀察發現有兩個操作:
- 匹配成功：
j++,這個代價是1 - 匹配失敗:
j=Next[j]還要經過while循環，這個代價未知
根據記賬法，假設每個平攤代價是2,對於每個匹配成功的操作，其中1元用來j++，另1元就存起來，給后面匹配失敗時用:
而當失配的時候，就會用到銀行存款，最壞的情況當然就是用光了所有存款，但可以發現每個匹配的操作分配兩個時間代價是完全足夠的
換句話說，你使用存款肯定得要求銀行有存款，而每次j++操作都會存1元，在當前j前面必然每個位置都是有大於等於1的存款
所以復雜度就是j++次數的兩倍，也就是匹配串的長度 \(2n\)
根據平攤分析要求\(\check c_i \ge c_i\)，平攤代價設置為\(2\)是完全滿足的
綜上所述:KMP算法兩個函數的總體運算次數為\(2n+2m\)，復雜度是\(O(n+m)\)
總結
也不知道這樣分析對不對，如果只是感性理解的話足夠了．
也有勢能法的做法，但是這樣的話就要定義勢能函數，我覺得記賬法還是好理解一點.