laplacian matrix的幾種形式

1. 一般laplacian矩陣（ordinary laplacian matrix）

　　對於給定n個頂點的簡單圖G, 它的Laplacian matrix 定義如下

L = D - A

　　D是圖G的度矩陣，A為圖G的鄰接矩陣。（例子來源：wikipedia）

 

2. laplacian matrix的幾種常見的表示形式

　　其中deg(v_i)表示頂點v_i的度，L為普通laplacian matrix。

　　（1）對稱規范化拉普拉斯矩陣-Symmetric normalized Laplacian

分析可得, L^{sym中的元素由下面公式給出：}

 

　　（2）RW規范化拉普拉斯矩陣-Random walk normalized Laplacian

L^rw中的元素由下面公式給出：

 

 

　　（3）廣義拉普拉斯矩陣-Generalized Laplacian

Generalized Laplacian 矩陣中元素由下面公式給出

 

注意到，普通的laplacian matrix便屬於Generalized Laplacian 

3. laplacian矩陣的性質

　　1. laplacian矩陣是對稱，半正定矩陣。

　　2. 存在一個為0的特征值，即rank(L) = n - 1。

　　3. 行和，列和均等於0。

　　4. L的Raleigh商

R(L, x) = x^HLx / x^Hx

R(L, x)是x的連續函數，max(R)就是L的最大特征值, min(R)就是L的最小特征值。