直線型一階倒立擺2---建模

本文轉載自查看原文 2020-01-14 19:35 810 直線型一階倒立擺

三、直線型一階倒立擺模型建立

一級倒立擺系統是一個不穩定的系統，需要對其進行機理建模。在研究過程中，應忽略空氣摩擦、等，而后可將倒立擺系統進行抽象化，認為其由小車和勻質剛性桿兩部分組成並對這兩部分進行如圖所示的受力分析:

其中為小車的質量和擺桿的質量；b、F 和 x分別為小車的摩擦系數、施加在小車上的作用力和小車的位置[8]；I和分別為擺桿的慣量和擺桿轉動軸心到質心的長度；和分別為擺桿與豎直向上方向和豎直向下方向的夾角；N 和P 分別為擺桿作用力的水平與豎直分量。

小車水平方向的合力：

$M\frac{\mathrm{d^{2}x} }{\mathrm{d} t^{2}}=F-B\frac{\mathrm{dx} }{\mathrm{d} t}-N$ (1)

擺桿水平方向的合力:

$N=m\frac{\mathrm{d^{2} (x-lsin\theta )} }{\mathrm{d} t^{2}}$ (2)

擺桿水平方向運動方程：

$(M+m)x^{''}+bx^{'}+ml\theta ^{''}cos\theta -ml\theta ^{'}sin\theta =F$ (3)

擺桿力矩平衡方程：

$-PIsin\theta -Nlsin\theta =I\theta ^{''}$ (4)

擺桿在豎直方向的合力：

$P=mg+ml\theta ^{''}sin\theta +ml\theta ^{'}cos\theta$ (5)

可得到擺桿在豎直方向的運動方程：

$(1+ml^{2})\theta ^{''}+mglsin\theta =-mlx^{''}cos\theta$ (6)

擺桿豎直方向運動方程：

$I+Ml^{''}\phi -mgl\phi =mlx$ (7)

將作用力 F 用 u代替,同時進行線性化,即得到:

$(I+ml^{2})\phi ^{''}-mgl\phi =mlx^{''}$ (8)

$(M+m)x^{^{''}}+bx^{'}-ml\phi ^{''}=u$ (9)

其中 $\theta =\pi +\phi$ , $\phi$ 為小角度。

質量均勻分布的擺桿，對於式(8)有 $I=\frac{1}{3}ml^{2}$ (11)

由式(8)、(11)得到： $(\frac{4}{3}ml^{2})\phi ^{''}-mgl\phi=mlx^{''}$ (12)

對質量均勻擺桿，取 $X=[\begin{matrix} x &x^{'} &\phi & \phi ^{'} \end{matrix}]$ , $u^{'}=x^{''}$ 可得到線性一階直線倒立擺狀態空間描述：

$\begin{bmatrix} x^{'}\\ x^{''}\\ \phi ^{'}\\ \phi ^{''} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0& 0& 0 &1 \\ 0& 0 &\frac{3g}{4l} & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ x^{'}\\ \phi \\ \phi ^{'} \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 0\\ 1\\ 0\\ \frac{3}{4l} \end{bmatrix}u^{'}$ (13)

$y=\begin{bmatrix} x\\ \phi \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\ x^{'}\\ \phi \\ \phi ^{'} \end{bmatrix}$ (14)

對系統進行可控性分析，由控制矩陣Qc=[B AB $A^{2}B$ $A^{3}B$ ]= $\begin{bmatrix} 0 &1 &0 &0 \\ 1&0 &0 &0 \\ 0 & \frac{3}{4l} &0 &\frac{9g}{16l^{2}} \\ \frac{3}{4l} &0 & \frac{9g}{16l^{2}} &0 \end{bmatrix}$ ,用matlab計算可知，Qc的秩為4，系統可控。系統可進行狀態變量的極點配置。

對系統進行可觀測性分析，由觀測矩陣Qo=[C CA $CA^{2}$ $CA^{3}$ ],用matlab計算可知，Qo的秩為4，系統可觀測。系統可設計觀測器，並且觀測器可控。

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