python算法之堆排序
注意：本文中的結點和結點不加區分的使用
堆的概念：
- 堆是一個完全二叉樹
- 每個非葉子結點都要大於或者等於其左右孩子結點的值稱為大頂堆
- 每個非葉子結點都要小於或者等於其左右孩子結點的值稱為小頂堆
- 根結點一定是大頂堆中的最大值，一定是小頂堆中的最小值
堆其實是從節點值來觀察，結點值具有一點特點的完全二叉樹
堆的類型
根據堆的特性，我們可以把堆分為兩類
大頂堆
完全二叉樹的每個非葉子結點都大於或者等於其左右孩子結點的值，根結點一定是大頂堆中的最大值，如圖1
小頂堆
每個非葉子結點都要小於或者等於其左右孩子結點的值，根結點一定是大頂堆中的最小值,如圖2
堆排序步驟
構建完全二叉樹
原始數據：30，20，80，40，50，10，60，70，90
構建一個完全二叉樹存放數據，並根據完全二叉樹的性質5對元素編號，: 放入順序的數據結構中構造一個列表為[0,30,20,80,40,50,10,60,70,90]（插入一個0，是為了將數組的下標和完全二叉樹的結點編號一致），如下圖
構建大頂堆
怎么將一個隊列構建成大頂堆（或者小頂堆），是堆排序的算法核心部分
分析
1.度數為2的結點A，如果他的左右孩子結點的最大值比它大的，最大值和該結點交換
2.度數為1的結點A，如果他的左孩子的值大於它，則交換
3.如果節點A被交換到新的位置（此時結點A已經是原來那個A的孩子結點了，所以需要A到了新的崗位上，是否能坐穩，還需要與其孩子結點比較），還需要和其他孩子結點重復上面的過程
1.構建大頂堆--起點結點的選擇
從完全二叉樹的最后一個結點的雙親結點開始，即最后一層的最右邊葉子結點的父結點開始，如果結點數為n，則起始結點的編號為n//2,這也會保證每次比較過程中，到能將所有的數都比較得到（這個堆的起始位置就是9 // 2 = 4）
2.構建大頂堆--下一個結點的選擇
從起始結點開始向左找其同層結點，到頭后再從上一層的最右邊結點開始繼續向左逐個查找，直到根結點，如下圖，進行的順序是：4，3，2，1
3.大頂堆的目標
確保每個結點的值都比左右結點的值大
可以看一個更亂的圖
排序
分析
1.將大頂堆根結點這個最大值和最后一個葉子結點交換，那么最后一個葉子結點就是最大值，將這個葉子結點排除在待排序結點之外
2.從根結點開始（新的根結點），重新調整為大頂堆后，重復上一步
問：排序，堆頂和最后一個結點交換，並排除最后一個結點，為什么要換最后一個呢？
答：堆頂的數據是已經確認了，這是最大（最小）值了，那就沒必要在留在樹中了，將其放置到最后一個葉子結點上，好標記。
總結
1.利用堆性質的一種選擇排序，在堆頂選出最大值或者最小值（這也就是可以解決我們常見的TopN問題）
2.時間復雜度為O(nlogn)
3.空間復雜度：只是使用了一個交換用的空間，所以空間復雜度為O(1)
4.堆排序是一種不穩定的排序算法
注意：由於堆排序對原始記錄的排序狀態並不敏感，因此它無論是最好、最壞，時間復雜度都是O(nlogn)
代碼實現
#!/bin/env python
# -*- coding: utf-8 -*-
'''
__title__ = ''
__author__ = 'cxding'
__mtime__ = '2020/1/3'
# code is far away from bugs with the god
'''
import math
#居中打印 數量少的可以這么打印，多了就不行了
def print_tree(array,unit_width=2):
length = len(array)
depth = math.ceil(math.log2(length + 1))
index = 0
width = 2 ** depth -1 #行寬，最深的行 15個數
for i in range(depth):
for j in range(2 ** i):
#居中打印，后面追加一個空格
print('{:^{}}'.format(array[index],width * unit_width),end=' ' * unit_width)
index += 1
if index >= length:
break
width = width // 2 #居中打印寬度減半
print()
def sift(li:list,low:int,high:int):
'''
調整當前結點，這個時間復雜度最多是一棵樹的高度，所以是logn
:param li: 列表
:param low: 堆的根結點位置
:param high: 堆的最后一個元素的位置
:return:
'''
i = low
j = 2 * i + 1 #j開始是左孩子
tmp = li[low] #把堆頂存起來
while j <= high: #只要j位置有數，沒有超過堆的長度
if j + 1 <= high and li[j+1] > li[j]:
j = j + 1 # 如果有右孩子，並且他的值比左孩子大，將j指向右孩子
if li[j] > tmp:
li[i] = li[j]
i = j
j = 2 * i + 1
else:
li[i] = tmp
break
else:
li[i] = tmp
#return li
li = [10,40,50,30,20,90,70,80,60]
def heap(li):
'''
實現堆排序，這里面的時間復雜度是nlogn,所以最終的時間復雜度就是nlogn,但是這個速度會比快排慢
:param li: 待排序的列表
:return:
'''
#構建大頂堆
n = len(li)
print("原始的序列為：")
print_tree(li)
for i in range(n//2 - 1,-1,-1):
print('-' * 30)
sift(li,i,n-1)#high為n-1,其實是取了極大值
print_tree(li)
print("准備出數了！")
#挨個出數
for i in range(n-1,-1,-1):
#將第一個元素和堆的最后一個元素交換
li[0],li[i] = li[i],li[0]
sift(li,0,i -1)#將最后一個元素排除在外，只需要調整堆頂的元素就是一個大頂堆了
print('-'*30)
print_tree(li)
heap(li)
再一種寫法：
#!/bin/env python
# -*- coding: utf-8 -*-
'''
__title__ = ''
__author__ = 'cxding'
__mtime__ = '2020/1/13'
# code is far away from bugs with the god
'''
origin = [0,30,20,80,50,10,60,70,90]
total = len(origin) - 1
def heap_adjust(n,i,array:list):
'''
調整當前結點，主要是為了保證以i為堆頂的堆是一個大頂堆（或者小頂堆）
:param n: 待排序的序列的總長度
:param i: 當前結點，因為要是一個堆，所以他必須至少有一個子結點
:param array: 待排序的列表
:return:
'''
while 2 * i <= n:
lchild_index = 2 * i
if lchild_index < n and array[lchild_index] < array[lchild_index + 1]:#如果有右孩子，並且右孩子的值比左孩子大
#array[i],array[lchild_index + 1] = array[lchild_index + 1],array[i]
lchild_index += 1
if array[lchild_index] > array[i]:#接上面，已經得到了左右結點中最大結點的index，只要將其與當前結點比較，得到最大的直接就可以了，
# 如果當前結點就是最大的，就不用比較了，這棵子樹就是大頂堆了，這是有前提的，前提是認定了，已經從len(li) // 2開始進行了一次次向上了
array[i],array[lchild_index] = array[lchild_index],array[i]
i = lchild_index
else:
break
#調整成大頂堆
for i in range(total//2,0,-1):
heap_adjust(total,i,origin)
'''
heap_adjust(total,4,origin)
print(origin)
heap_adjust(total,3,origin)
print(origin)
heap_adjust(total,2,origin)
print(origin)
heap_adjust(total,1,origin)
print(origin)
#[0, 90, 50, 80, 30, 10, 60, 70, 20]
'''
print(origin)
#[0, 90, 50, 80, 30, 10, 60, 70, 20]
def heap(max_heap:list):
length = len(max_heap) - 1
print("length ---> ",length)
print("origin--->",max_heap)
for i in range(length,1,-1):
print("i-->",i,"element--",max_heap[i])
max_heap[1],max_heap[i]= max_heap[i],max_heap[1]
heap_adjust(i-1,1,max_heap)
heap(origin)
print(origin)