上一次我們談到，使用蒙特卡洛積分法求積分涉及到兩個問題：1.如何對一個任意分布函數進行抽樣； 2.如何減少方差。這里我們先來探討第一個問題，給定一個概率密度函數，如何對其進行采樣，使采樣滿足其概率分布。
平常有兩種方法實現：
1.逆變換算法
假設我們有一個概率分布函數p(x)，對它取積分，可以得到它累積分布函數P(x)，這個函數根據性質我們知道它的值域是一定分布在[0,1]區間的。那么通過它的反函數
就可以實現輸入[0,1]之間的隨機數，得到符合概率密度分布的采樣點。
我們可以從一個離散分布的圖像中來加深理解，下圖是一個離散分布函數p(x)：
它的累積分布函數如下：
可以看到，當我們取值域上的一點ξ，它對應的定義域值為3。p(3)的值較大，因此它也就有更多幾率被采樣到。也就是說對於，輸入一個均勻采樣的[0,1]值，就可以得到符合p(x)概率分布的定義域采樣點。
因此逆變換算法的過程如下：
1.首先計算p(x)的累積分布函數
2.計算累積分布函數的反函數
3.然后在[0,1]均勻分布隨機產生一個隨機數ξ
4.最后將ξ帶入中求出滿足p(x)分布的隨機數。
2.取舍算法
當累計分布函數或其反函數沒有顯示的解析表達式，或者概率密度函數沒有邊界，不能歸一化的時候，逆變換算法就無法使用，此時應當使用取舍算法。
取舍算法的思路非常簡單，假設一個任意函數f(x)被限定在[a,b]區間，在此區間外的所有值均為0，我們想對它進行采樣。我們有一個概率分布函數p(x)使得cp(x)>f(x)，那么取舍法的過程如下：
1.產生一個均勻分布在[a,b]的隨機數x
2.產生一個均勻分布在[0,cp(x)]上的隨機數y
3.若y<f(x)，則接受這個采樣，否則繼續產生新的隨機數
下圖是f(x)和p(x)的示意圖。其實這個方法就是要判斷生成的隨機數是否在f(x)的范圍以內。
