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讓人迷惑的復雜度
小白： 慶哥啊，這個復雜度到底是個啥啊，我在上大學的時候學這塊的時候就很懵😂，不知道是個啥，理解起來很費勁，所以當時也沒有好好學習，自己的數據結構與算法這塊一直比較薄弱，准備好好再學學數據結構與算法嘞，這一個復雜度都難住我了🤣
慶哥： 的確啊，雖然就三個字，但是理解起來也確實有點費勁，我當時學習的時候也是有點理解不了，感覺看了很多解釋，總覺得迷迷糊糊的，還是不知道到底是個啥？😂
小白： 嗯嗯，是的，我也上網搜了很多的關於復雜度的分析的文章，有些文章覺得越看越迷糊，看着看着就看不下去了，然后我就去看看評論，想着會有人跟我一樣覺得看不懂，結果評論都是“寫的很好”😂，頓時覺得自己是不是太笨了🤣。
慶哥： 哈哈😁，太真實了，那今天咱倆就來好好學習下這個復雜度吧，絕對讓你對復雜度有個全新的認識😎
一起攻克復雜度吧
小白： 嗯嗯，那我得好好學習了，復雜度一直困擾着我，還真的是復雜啊😅，對了，有啥不明白的可是隨時提問你的哦，還請慶哥賜教😁
慶哥： 小事小事，那咱開始吧，首先我們要知道我們學習啥，那必須是復雜度啊，咋一看，三個字“復雜度”，應該是個名詞吧，所以嘞，首先我們得知道，它一定有他本身的概念，那好，我們看看復雜度是怎么定義的，怎么看？必須是百科的解釋啊，來，一起看看：
在計算機科學中，算法的時間復雜度（Time complexity）是一個函數，它定性描述該算法的運行時間。這是一個代表算法輸入值的字符串的長度的函數。時間復雜度常用大O符號表述，不包括這個函數的低階項和首項系數。使用這種方式時，時間復雜度可被稱為是漸近的，亦即考察輸入值大小趨近無窮時的情況。例如，如果一個算法對於任何大小為 n （必須比 n0 大）的輸入，它至多需要 5n3 + 3n 的時間運行完畢，那么它的漸近時間復雜度是 O(n3)。
看看，明白不？
小白： 說實話，看到這個真的有點懵啊😄，時間復雜度？跟復雜度一樣吧，什么函數，大O，低階項，漸進時間，這都是啥跟啥啊😂，是不是涉及數學啊，我數學可一直都不好啊🤣
慶哥： 別說你，我剛開始看這個的時候也是一臉茫然啊🙄，也許真的是因為咱倆太笨了😄，怪尷尬😂，不過我覺得這個解釋雖然很正確，但是有點官方，對已經只是到啥是時間復雜度的來說很不錯，但是對於新手和那些對復雜度概念有疑惑的人來說，真的不算友好，本身就理解的雲里霧里，看這個更迷茫了😃
小白： 對對對，也許它說的很對，但是這樣解釋就是覺得好迷茫，不知道到底是個啥😫，慶哥快給我解釋解釋吧😆
復雜度小探
慶哥： 嗯嗯，那接下來，我就把我的理解用大白話給你解釋一下吧😉，首先嘞，針對你上面的一些疑問咱先來說說，你要知道，咱們這里要探討的復雜度是數據結構與算法里面的概念，為啥要這樣說，中華文字，博大精深，一樣的字放在不同的場景里，那含義就不同了，所以咱必須先明確，我們這里講的 復雜度是數據結構與算法中的概念
好了，知道這個之后，我們還要知道，我們這里說復雜度，更為准確的來說是時間復雜度（還有空間復雜度嘞），所以后面咱們不說復雜度了（避免有歧義），就說時間復雜度（因為時間復雜度相對來說比較重要），先跟你說一聲，這個時間復雜度是針對於算法的，所以再全面點，我們實際應用中會說成某個算法的時間復雜度
小白： 是啊，復雜度，哎不對，是時間復雜度😁，就是跟算法有關的，數據結構與算法是塊超級難啃的骨頭啊😂
慶哥： 的確，數據結構與算法真的很重要，按時不可否認，真的不容易，很多程序員這塊的技能也都不是很強，數據結構與算法這塊牛了，那都是大神級別的啊😁，很多小渣渣早就放棄了，根本學不會啊😂
小白： 這太扎心了😁，我好難啊🤣
慶哥： 雖說數據結構與算法有一定難度，但是還沒有到了那種難得學不會的地步，需要你多花時間，多思考多練習，很多人第一步都不敢邁出去，當然難了
小白： 嗯嗯，確實，很多人聽到數據結構與算法，心里不自然的就覺得好難，然后就沒有學下去的欲望了，首先就被自己嚇到了，我要邁出第一步，跟着慶哥😂
慶哥： 哈哈，可以可以，我的這塊也是比較薄弱，咱們共同共同學習，那咱接着上面的說，經過上面說的，我們現在知道了，我們要搞定的就是時間復雜度，至於什么大O，低階項的，咱們一步步來。
理解時間復雜度的前提
那時間復雜度到底是個啥呢？我個人覺得啊，要想理解什么是時間復雜度，我們先要知道什么是算法，為啥，因為時間復雜度就是針對算法才有的一個概念，注意啦，我開始慢慢分析什么是時間復雜度了哦😁
小白： 嗯嗯，我在注意聽着嘞😀
慶哥： 好的，千萬別走神😎，為啥說理解時間復雜度的前提先要搞明白算法是啥呢？舉個例子，比如有人要給你介紹對象，你這人嘞比較在意身高，所以你就問“那貨多高啊😂”，別人說差不多一米6左右吧，這個時候你就知道她多高了，這個身高就是衡量一個人的，這個好理解吧，而這個時間復雜度就是用來衡量一個算法的。
你想想，為啥你要問身高，因為你比較在意身高，比如說身高達到一米六就是你的標准，那達到這個標准就是好啊，達不到就是不好，如果人家才一米五，你肯定說，不好，身高不行😂，所以身高也作為你衡量一個人好不好的指標，那對於算法嘞，一個算法也有好不好的說法，那用啥來衡量一個算法的好壞呢？
小白： 我知道，時間復雜度😁
慶哥： 嗯嗯，說的非常對，我們就可以用時間復雜度來衡量一個算法的好壞，當然，你衡量一個人的好壞，可以有很多指標，身高只是其中之一而已，同理，對於算法的好壞，也有好多指標，時間復雜度也只不過是其中之一罷了，像空間復雜度也可以來衡量一個算法的好壞，不過嘞我們這里主要探討的是時間復雜度對算法的影響。
小白： 慶哥啊，不是要說什么是算法嗎，這里好像把什么是時間復雜度給講講了吧😀
算法是啥
慶哥： 哈哈，別着急，到了這里，你應該知道了，時間復雜度是用來衡量算法的一個指標，那啥是算法嘞？
小白： 說實在的，我對算法也有點迷迷糊糊的，覺得算法就是一種方法吧😁
慶哥： 其實吧，概念性的東西沒有個定性答案，所以，按照你的理解沒啥問題，所謂算法，當然咱這里也是針對數據結構與算法這塊說的，它就是你解決問題采用的一種方式方法而已，我們這學編程的，終究是要落實到代碼中的，在代碼里來說，不同的算法，也就是你實現的代碼不一樣，但是達到的目的是相同的，用我們生活中的例子來說，那就是條條大路通羅馬啊
就像這個圖一樣，我們從起點到終點，可以選擇的路線有很多，但是我們直觀來看，圖中紅色的路線是最近的，其實這里拿到編碼中來說，每一條路線都可以說成是一個算法，那這里的好壞就是哪個近哪個算法好啊，這應該沒啥難理解的吧。
這里的路線的遠近就可以看成是時間復雜度，路線近，我們可以說時間復雜度小，算法就好，路線遠，時間復雜度就高，算法相對來說就不好。
那為啥又說衡量一個算法的好壞，時間復雜度只是其中一個指標呢？難道這里的紅線路線就是最好的嗎？比如我們考慮道路問題，看下面的圖，紅線雖然近，但是路不好走，黑線雖然遠點，但是路好走，綜合下來，黑線是最佳路線。
所以說，時間復雜度並不能作為一個衡量算法的唯一標准，因為還有其他影響算法的因素，只不過，時間復雜度的影響比較大，我們常規討論算法的好壞的時候經常使用時間復雜度來蘋果。
那么，說到這里，你知道了啥是算法和時間復雜度了吧？
小白： 嗯嗯，對他們的概念比較清晰了，其實算法這個玩意就是一個怎么做比較好的問題吧😁
慶哥： 是啊，所以算法也涉及到思想層面，上升到這個高度就有難度，值得研究了，因為怎么找一個最佳選擇，也就是最好的辦法是需要費腦筋的，有的人能想到，有的人就是想不到😂
小白： 哈哈，是這樣啊🤣，這里也知道了時間復雜度是用來衡量算法的一個指標了，也就是清楚概念了，不過不是有什么大O啥的嗎？就是它咋用啊😂
怎么表示時間復雜度嘞
慶哥： 不着急，咱繼續，經過上面的講解，我們大致清楚時間復雜度的概念了，以及它有啥用，那么應該怎樣來表示時間復雜度了，我們上面舉過身高的例子，那表示身高可以用多少多少cm啊，也就是160cm，那么時間復雜度該怎么表示嘞？
小白： 這個我知道，叫什么大O表示法，經常見表示哪個算法的時間復雜度是O(1)啊，或者O(n)之類的。
慶哥： 對的，就是用這種方式來表示時間復雜度，那你知道啥是大O表示法嗎？
小白： 這個就有點迷惑了，只知道這樣表示，但是要說啥是大O表示法，就有點懵😂
慶哥： 那咱來看關於大O表示法的一個概念解釋：
若存在函數f(n)，使得當n趨近於無窮大時，T(n)/f(n)的極限值為不等於零的常數，則稱f(n)是T(n)
的同數量級函數。記作T(n)=O(f(n))，稱為O(f(n))，O為算法的漸進時間復雜度，簡稱為時間復雜度。
因為漸進時間復雜度用大寫O來表示，所以也被稱為大O表示法。
怎么樣，看得懂不😁
小白： 說實話，懵🤣
慶哥： 別說你懵，我也懵😂，沒辦法，咱們數學差啊，當初學數學的時候，有些概念就是理解不了，感覺說的好繞，那啥是大O標識法嘞，我覺得吧，沒必要去糾結它的概念性問題，你只需知道大O標識法的形式就是O(n)，啥事大O啊，就是大寫字母O啊，然后一個括號，括號里面一個數，這個數可以事已知的，比如說1，其實也就只有1，也可以事未知的，比如n，也可以是2n，3n或者是n的平方（n^2）等等，反正未知的就是跟n相關的函數。
大O表示法為啥是n
小白： 有個疑問啊，這里為啥是n呢？😅
慶哥： 當然，這個n只是表示個未知數，我們之前表示未知數通常是x和y之類的，這里使用n只是個約定俗稱的事，也就是習慣成自然😂，大家之前都這樣表示，於是干脆就這樣吧，使用n來表示，其實吧，這個也跟我們寫代碼有關，比如我們寫一些循環代碼，經常出現n，像這樣：
public static int test2(int n) {
if(n<=1) return n;
int first = 0;
int second = 1;
for (int i = 1; i < n; i++) {
second += first;
first = second - first;
}
return second;
}
看到沒，這段代碼中使用的n，對了，你知道怎么計算時間復雜度的嘛？
小白： 就是如何計算一個算法的時間復雜度嘛？我就不會這個😂，看了不少文章，好多都是在介紹啥是時間復雜度，可是就是不告訴我時間復雜度該怎么計算🤣
如何計算時間復雜度
慶哥： 😂，那咱來說說，因為跟你說了這個怎么計算時間復雜度的之后，你就會更明白為啥是n了，首先，你有沒有覺得時間復雜度跟時間有關😁
小白： 必須啊，人家就叫時間復雜度，我之前還以為時間復雜度就是多少多少秒之類的😂，結果是O(n)什么的🤣，這是咋算出來的啊
慶哥： 你這樣理解也正常，那是因為我們對時間這個概念固化了，想着時間那就是時分秒來計算的，這些都是時間單位，是我們熟知的時間單位，但是還有可能時間不是一時分秒來計算，時分秒是確切的，也有可能是抽象的，沒什么意思呢？我們弄個代碼來看下：
public static int test(int n) {
return n++;
}
咋樣，這段代碼簡單吧，就是給定一個值，然后加一返回，我們了解過什么是算法了，這段代碼其實就是一個算法，只不過超級簡單，它是用來計算一個值加一之后的結果的，那么我們來看怎么算它的時間復雜度，該怎么計算呢？
我們先約定好，在方法體內，每執行一次操作，我們記作1，也就是花費了一個時間單位，你看這里並沒有說是1秒還是1分，就說是一個時間單位，我們下面來看這段代碼。
在這段代碼中，就有一行代碼，也就是：
return n++;
它就算做一次操作，所以這里花費的是1個時間單位，也就是1，那它的時間復雜度就是O(1)
小白： 為啥啊？😂
慶哥： 不着急，我們繼續看下面的代碼：
public static int test(int n) {
n=+5;
return n++;
}
與上面代碼不同的地方是這里多了一行代碼，把給定的值加上5，我們來看它的時間復雜度，首先是n=+5這行代碼被執行一次，花費了1個時間單位，下面那行代碼也是執行一次，也是花費了1個時間單位，那么總的就是花費兩個時間單位，所以它的時間復雜度就是O(1)，怎么樣，有沒有發現點什么啊😂
小白： 無論是1個時間單位，還是2個時間單位，他們的時間復雜度始終是O(1)，這是不是意味着，只要是這些常數個時間單位，時間復雜度始終都是O(1) 啊😁
慶哥： 對，很對，也就是說，只要代碼的總執行次數是個常數，那么時間復雜度就是O(1)，我們緊接着來看O(n)的是咋回事，看下面這段代碼：
public static int test(int n) {
int sum = 0;
for (int i=0;i<n;i++) {
sum=+i;
}
return sum;
}
這里有個for循環，我們看看它的時間復雜度怎么計算，首先第一行代碼int sum = 0執行一次，花費1個時間單位，重點在下面的for循環這塊，因為這里的n是個不確定的值，經過分析，發現for (int i=0;i<n;i++)這行代碼會執行n+1次，也就是會花費n+1個時間單位，循環體內的sum=+1這行代碼則會執行n次，也就是會花費n個時間單位，然后最后一行代碼會執行一次，就是花費1個時間單位，總的來說就是：
1+n+1+n+1 = 3+2n，也就是總共花費3+2n個時間單位，那么它的時間復雜度就是O(n)。
你看看，覺得這個是規律是啥😎
小白： 這里得出的總時間單位就像函數一樣，比如f(n)=3+2n，不過我們之前喜歡用x，也就是f(x)=3+2x，只不過這里是n，看這里應該是把常數項去除，然后系數也去除，只保留個n，那么如果是f(n)=3+2n^2的話，時間復雜度是不是就是…
是不是就是O(n^2)啊😀
慶哥： 很聰明啊，確實是這樣，這里有個比較官方的解釋，也就是按照下面的規則去計算時間復雜度
- 如果運行時間是常數量級，則用常數1表示
- 只保留時間函數中的最高階項
- 如果最高階項存在，則省去最高階項前面的系數
這個明白吧，舉個例子，比如f(n)=3+2n^2+5n，那么3就是常數項，5n就是一階項。
2n^2就是二階項，在這里也是最高階項，那么按照規則時間復雜度是哈？😎
小白： 這還是O(n^2)吧😁
慶哥： 咋樣，現在知道怎么計算時間復雜度了吧，你有沒有總結什么規律呢？
總結
小白： 經過上面那幾個例子，我覺得這計算時間復雜度，主要就是看代碼中的每一行代碼一共執行了多少次，不確定的就是n，然后按照那三條規則來確定最終的時間復雜度，所以重點就是計算每行代碼執行了多少次，是不是這樣😅
慶哥： 是的，就可以這樣理解，就像你說的重點就是看每行代碼一共執行了多少次，不過有些復雜的代碼是不容易算出一共執行多少次的，容易算着算着就迷糊了🤣
小白： 哈哈，我也正在思考這個問題呢？咱這里舉的例子比較簡單，容易計算每行代碼執行多少次，但是代碼一旦比較繞，比較復雜那就不容易了吧😂
慶哥： 確實啊，不過隨着我們后續的學習，我們會學習一些經常使用的算法，那么這些算法的時間復雜度會直接給出，我們記着就行了，比如我們看看這個圖：
這個就是不同時間復雜度的一個函數圖，可以簡單理解，越陡的花費時間單位越大，那算法性能也就越差，這個我們只要學過數學，一般都能理解吧😁
小白： 嗯嗯，是的，這個還是能夠明白的，你說有些常用算法的時間復雜度是給出的，有哪些呢？
慶哥： 這個啊，我覺得還是隨着我們后續的學習去逐步的了解，比如學到哪個算法，需要分析時間復雜度的時候我們再去說，那樣我們記憶的才牢固，不然，這里即使和你說了，也會很快忘掉😂
小白： 嗯嗯，有道理😁
慶哥： 對了，知道大O表示為啥是n了吧😅
小白： 嗯嗯 知道了😀
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