前前言
what is O?:"O"是數學符號，它的嚴格定義是"若T(n)和f(n)是定義在正整數集合上的兩個函數，則T(n)=O(f(n))表示存在正的常數C和n0 ,使得當n≥n0時都滿足0≤T(n)≤C?f(n)。"用容易理解的話說就是這兩個函數當整型自變量n趨向於無窮大時，兩者的比值是一個不等於0的常數。
前言
算法很重要，但是一般情況下做移動開發並不經常用到，所以很多同學早就將算法打了個大禮包送還給了老師了，況且很多同學並沒有學習過算法。這個系列就讓對算法頭疼的同學能快速的掌握基本的算法。過年放假階段玩了會游戲NBA2K17的生涯模式，沒有比賽的日子也都是訓練，而且這些訓練都是自發的，沒有人逼你，從早上練到晚上，屬性也不漲，但是如果日積月累，不訓練和訓練的人的屬性值就會產生較大差距。這個突然讓我意識到了現實世界，要想成為一個球星（技術大牛）那就需要日積月累的刻意訓練，索性放下游戲，接着寫文章吧。
1.算法的效率
雖然計算機能快速的完成運算處理，但實際上，它也需要根據輸入數據的大小和算法效率來消耗一定的處理器資源。要想編寫出能高效運行的程序，我們就需要考慮到算法的效率。
算法的效率主要由以下兩個復雜度來評估：
時間復雜度：評估執行程序所需的時間。可以估算出程序對處理器的使用程度。
空間復雜度：評估執行程序所需的存儲空間。可以估算出程序對計算機內存的使用程度。
設計算法時，一般是要先考慮系統環境，然后權衡時間復雜度和空間復雜度，選取一個平衡點。不過，時間復雜度要比空間復雜度更容易產生問題，因此算法研究的主要也是時間復雜度，不特別說明的情況下，復雜度就是指時間復雜度。
2.時間復雜度
時間頻度
一個算法執行所耗費的時間，從理論上是不能算出來的，必須上機運行測試才能知道。但我們不可能也沒有必要對每個算法都上機測試，只需知道哪個算法花費的時間多，哪個算法花費的時間少就可以了。並且一個算法花費的時間與算法中語句的執行次數成正比例，哪個算法中語句執行次數多，它花費時間就多。一個算法中的語句執行次數稱為語句頻度或時間頻度。記為T(n)。
時間復雜度
前面提到的時間頻度T(n)中，n稱為問題的規模，當n不斷變化時，時間頻度T(n)也會不斷變化。但有時我們想知道它變化時呈現什么規律，為此我們引入時間復雜度的概念。一般情況下，算法中基本操作重復執行的次數是問題規模n的某個函數，用T(n)表示，若有某個輔助函數f(n)，使得當n趨近於無窮大時，T（n)/f(n)的極限值為不等於零的常數，則稱f(n)是T(n)的同數量級函數，記作T(n)=O(f(n))，它稱為算法的漸進時間復雜度，簡稱時間復雜度。
3.大O表示法
像前面用O( )來體現算法時間復雜度的記法，我們稱之為大O表示法。
算法復雜度可以從最理想情況、平均情況和最壞情況三個角度來評估，由於平均情況大多和最壞情況持平，而且評估最壞情況也可以避免后顧之憂，因此一般情況下，我們設計算法時都要直接估算最壞情況的復雜度。
大O表示法O(f(n)中的f(n)的值可以為1、n、logn、n²等，因此我們可以將O(1)、O(n)、O(logn)、O(n²)分別可以稱為常數階、線性階、對數階和平方階，那么如何推導出f(n)的值呢？我們接着來看推導大O階的方法。
推導大O階
推導大O階，我們可以按照如下的規則來進行推導，得到的結果就是大O表示法：
1.用常數1來取代運行時間中所有加法常數。
2.修改后的運行次數函數中，只保留最高階項
3.如果最高階項存在且不是1，則去除與這個項相乘的常數。
常數階
先舉了例子，如下所示。
上面算法的運行的次數的函數為f(n)=3，根據推導大O階的規則1，我們需要將常數3改為1，則這個算法的時間復雜度為O(1)。如果sum = （1+n）*n/2這條語句再執行10遍，因為這與問題大小n的值並沒有關系，所以這個算法的時間復雜度仍舊是O(1)，我們可以稱之為常數階。
線性階
線性階主要要分析循環結構的運行情況，如下所示。
上面算法循環體中的代碼執行了n次，因此時間復雜度為O(n)。
對數階
接着看如下代碼：
可以看出上面的代碼，隨着number每次乘以2后，都會越來越接近n，當number不小於n時就會退出循環。假設循環的次數為X，則由2^x=n得出x=log₂n，因此得出這個算法的時間復雜度為O(logn)。
平方階
下面的代碼是循環嵌套：
內層循環的時間復雜度在講到線性階時就已經得知是O(n)，現在經過外層循環n次，那么這段算法的時間復雜度則為O(n²)。
接下來我們來算一下下面算法的時間復雜度：
需要注意的是內循環中int j=i，而不是int j=0。當i=0時，內循環執行了n次；i=1時內循環執行了n-1次，當i=n-1時執行了1次，我們可以推算出總的執行次數為：
n+(n-1)+(n-2)+(n-3)+……+1
=(n+1)+[(n-1)+2]+[(n-2)+3]+[(n-3)+4]+……
=(n+1)+(n+1)+(n+1)+(n+1)+……
=(n+1)n/2
=n(n+1)/2
=n²/2+n/2
根據此前講過的推導大O階的規則的第二條：只保留最高階，因此保留n²/2。根據第三條去掉和這個項的常數，則去掉1/2,最終這段代碼的時間復雜度為O(n²)。
其他常見復雜度
除了常數階、線性階、平方階、對數階，還有如下時間復雜度：
f(n)=nlogn時，時間復雜度為O(nlogn)，可以稱為nlogn階。
f(n)=n³時，時間復雜度為O(n³)，可以稱為立方階。
f(n)=2ⁿ時，時間復雜度為O(2ⁿ)，可以稱為指數階。
f(n)=n!時，時間復雜度為O(n!)，可以稱為階乘階。
f(n)=(√n時，時間復雜度為O(√n)，可以稱為平方根階。
4.復雜度的比較
下面將算法中常見的f(n)值根據幾種典型的數量級來列成一張表，根據這種表，我們來看看各種算法復雜度的差異。
從上表可以看出，O(n)、O(logn)、O(√n )、O(nlogn )隨着n的增加，復雜度提升不大，因此這些復雜度屬於效率高的算法，反觀O(2ⁿ)和O(n!)當n增加到50時，復雜度就突破十位數了，這種效率極差的復雜度最好不要出現在程序中，因此在動手編程時要評估所寫算法的最壞情況的復雜度。
下面給出一個更加直觀的圖：
其中x軸代表n值，y軸代表T(n)值（時間復雜度）。T(n)值隨着n的值的變化而變化，其中可以看出O(n!)和O(2ⁿ)隨着n值的增大，它們的T(n)值上升幅度非常大，而O(logn)、O(n)、O(nlogn)隨着n值的增大，T(n)值上升幅度則很小。
常用的時間復雜度按照耗費的時間從小到大依次是：
