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自己博客上寫的入門，原文地址：http://cvnote.info/SAGE入門：開源數學系統之集大成者
最近在學習Sage這款開源數學軟件系統，百度了一下發現國內關注的還比較少，所以寫一個Sage的介紹吧。
Sage（http://www.sagemath.org）是一款類似於Maple、Matlab、Mathematica之類的數學軟件，GPL許可，項目的目標是：
Mission: Creating a viable free open source alternative to Magma, Maple, Mathematica and Matlab.
Sage可以干什么？介紹中有這么一句：“這款開源軟件的支持者稱Sage能夠完成從12維物體到計算全球變暖效應數學模型中的降雨量的任何事情。”Sage包含了從線性代數、微積分，到密碼學、數值計算、組合數學、群論、圖論、數論等各種初高等數學的計算功能。
Sage的一大特點是整合了眾多優秀的開源數學軟件，使用戶可以在Sage中方便的使用這些庫中的相應功能。Sage目前整合了近一百個開源的數學庫，這其中包括著名的ATLAS、BLAS、LAPACK、Boost、GSL、SciPy等等，完整列表可以查看這里。
Sage基於並使用Python，Python程序可以在Sage中直接運行，也可以在Sage中使用Python的各種庫，感覺就像是提供了一個包含各種數學功能的Python環境。
使用Sage，你可以：
下載安裝Sage到本地（下載鏈接）
使用在線版本。Sage目前提供兩種在線平台，分別是早期的The Sage Notebook和最近推出的SageMathCloud
下面是Sage的一些功能。
Sage Notebook
也可以在本地Sage命令行下使用 notebook() 開啟，相當於Maple的工作簿Worksheet，雖然看着有點簡陋，但功能還是很強大的，可以輸入Sage 命令，渲公式、顯示圖形等。
Sage Notebook
Sage Notebook
SageMathCloud
地址：https://cloud.sagemath.com/
SageMathCloud類似於一個在線的寫作編程平台，注冊后可以在里面建立工程，編輯各種源文件。這里建立了一個test工程，然后新建了一個.sagews（Sage Worksheet）工作簿文件，界面和Maple的worksheet很像，可以在里面輸入代碼，點擊運行鍵可以顯示結果。
Sage Worksheet
Sage Worksheet
雖然目前還是beta版但是感覺還是挺好用的。除了Worksheet還可以新建terminal，效果和本地的Linux terminal一樣,輸入 sage 可以進入Sage命令行，用法和Python命令行很像，可以使用 help() 和tutorial()產看幫助與教程。
sage-intro-term
Sage Could Terminal
基本計算
和大多數數學軟件系統一樣，很簡單易用。比如求2013的質因子：
sage : x = 2013
sage : f = factor ( x )
sage : f
3 * 11 * 61
或者矩陣求逆
sage : matrix ( [ [ 1 , 2 ] , [ 3 , 4 ] ] ) ^ ( - 1 )
[ - 2 1 ]
[ 3 / 2 - 1 / 2 ]
符號計算
Sage的符號計算非常好用，可以用 x = var('var_name') 聲明符號變量。例如求一個函數的積分
sage : a = var ( 'a' )
sage : x = var ( 'x' )
sage : f = a * sin ( x ) + 1 / x
sage : f . integrate ( x )
- a* cos ( x ) + log ( x )
或者解個方程
sage : solve ( x ^ 2 + a , x )
[ x == - sqrt ( - a ) , x == sqrt ( - a ) ]
繪圖功能
比如畫出上面 f = a * sin(x) + 1 / x 在a=1時,在x=1~10的圖像。 figsize 為圖像大小
sage : f = f . substitute ( a == 1 )
sage : plot ( f , ( x , 1 , 10 ) , figsize = 2 )
可以得到
Sage Plot
Sage Plot
除了2D，Sage還支持3D繪圖，具體可以查看文檔。
基本的數域與環
Sage支持在整數環（ ZZ）、有理數域（ QQ）、實數域（ RR）、復數域（ CC），以及更高級的多項式環、有限域（Finite Field）等集合上進行計算。這里要順便復習一下抽象代數，比如一些簡單的概念：
sage : QQ . gens ( ) # 有理數域的單位元和零元素
( 1 , )
sage : QQ . zero ( )
0
sage : CC . gens ( ) # 復數域的單位元和零元素
( 1.00000000000000 * I , )
sage : CC . zero ( )
0.000000000000000
運算的范圍不同，結果也不同。例如：
: ratpoly . < t > = PolynomialRing ( QQ ) # 定義ratpoly為基於有理數域上t的多項式環
sage : realpoly . < z > = PolynomialRing ( RR ) # 定義realpoly為基於實施域上z的多項式環
sage : factor ( t ^ 2 - 2 )
t ^ 2 - 2
sage : factor ( z ^ 2 - 2 )
( z - 1.41421356237310 ) * ( z + 1.41421356237310 )
外部軟件/庫接口
對於集成的外部開源數學軟件庫，Sage提供的方便的接口進行調用。在Sage中使用這些接口可以方便的將不同語言、不同功能的數學軟件庫整合在同一程序中，這也使得Sage集成了眾多開源數學軟件之所長。當然這些外部數學庫很多都非常專業，實際應用中應該只會用到其中很有限的一部分。這里舉兩個官網Sage Tutorial里的例子。
用GP/PARI求（本）原根（Primitive root）
GP/PARI是一個做數論的包（wiki）。原根是什么呢，上過數論但是忘了的請面壁:(
抄一下wiki吧還是
在gcd(a,m)=1時，定義a對模m的指數Ord_m(a)為使a^d \equiv 1 \pmod{m}成立的最小的正整數d。由前知Ord_m(a) 一定小於等於 \phi (m)，若Ord_m (a) = \phi (m)，則稱a是模m的原根。
對正整數(a,m)=1，如果 a 是模 m 的原根，那么 a 是整數模n乘法群（即加法群 Z/mZ 的可逆元，也就是所有與 m 互素的正整數構成的等價類構成的乘法群）Zn×的一個生成元。
生成元是一個很數論中很重要的概念，在一個整數模n乘法群中，生成元可以通過不斷與自己相乘（然后再模n），生成群中的所有元素。元根可以用PARI中的 znprimroot(n) 函數來求。
sage : gp ( 'znprimroot(7)' )
Mod ( 3 , 7 )
或
sage : pari ( 'znprimroot(7)' )
Mod ( 3 , 7 )
得到3是模7乘法群的一個元根。
用Maxima在有理域求矩陣特征向量
Maxima用LISP編寫的計算機代數系統 （Computer Algebra System），前身是Macsyma，Matlab和Mathematica等軟件的出現都受到在Macsyma的影響。在Sage中可以方便調用Maxima代數系統。例如下面在求特征向量並轉換到有理域向量空間的例子，代碼同樣來自官網Sage Tutorial，加了一些注釋：
sage : A = maxima ( "matrix ([1, 0, 0], [1, -1, 0], [1, 3, -2])" ) # 生成矩陣
sage : eigA = A . eigenvectors ( ) # 計算特征響亮
sage : V = VectorSpace ( QQ , 3 ) # V是一個有理數域上的3維向量空間，
sage : eigA # 輸出格式為[[[特征值],[特征值重數]],[[特征向量0],[特征向量1],[特征向量2]]]
[ [ [ - 2 , - 1 , 1 ] , [ 1 , 1 , 1 ] ] , [ [ [ 0 , 0 , 1 ] ] , [ [ 0 , 1 , 3 ] ] , [ [ 1 , 1 / 2 , 5 / 6 ] ] ] ]
sage : v1 = V ( sage_eval ( repr ( eigA [ 1 ] [ 0 ] [ 0 ] ) ) ) ; lambda1 = eigA [ 0 ] [ 0 ] [ 0 ]
sage : v2 = V ( sage_eval ( repr ( eigA [ 1 ] [ 1 ] [ 0 ] ) ) ) ; lambda2 = eigA [ 0 ] [ 0 ] [ 1 ]
sage : v3 = V ( sage_eval ( repr ( eigA [ 1 ] [ 2 ] [ 0 ] ) ) ) ; lambda3 = eigA [ 0 ] [ 0 ] [ 2 ]
sage : M = MatrixSpace ( QQ , 3 , 3 ) # M是一個有利數域上的3×3維的矩陣空間
sage : AA = M ( [ [ 1 , 0 , 0 ] , [ 1 , - 1 , 0 ] , [ 1 , 3 , - 2 ] ] )
sage : b1 = v1 . base_ring ( ) # b1 == QQ 是有理數域
sage : AA* v1 == b1 ( lambda1 ) * v1 # 驗證特征值定義Av = lambda1v
True
sage : b2 = v2 . base_ring ( )
sage : AA* v2 == b2 ( lambda2 ) * v2
True
sage : b3 = v3 . base_ring ( )
sage : AA* v3 == b3 ( lambda3 ) * v3
True
注意到 M() 、 V() 、 b1() 、 b2() 、 b3() 都相當於類型轉換，限定運算在有理數域上進行。另外這里的特征向量沒有單位化，因為是在有理數域上。
與Latex協同
Sage內部可以與Latex協同。對於任意Sage對象foo，可以通過調用 latex(foo) 得到其Latex輸出。例如：
sage : var ( 'z' )
z
sage : latex ( z ^ 12 )
z ^ { 12 }
sage : latex ( integrate ( z ^ 4 , z ) )
\ frac { 1 } { 5 } \ , z ^ { 5 }
sage : latex ( 'a string' )
\ verb | a | \ phantom { \ verb ! x ! } \ verb | string |
sage : latex ( QQ )
\ Bold { Q }
sage : latex ( matrix ( QQ , 2 , 3 , [ [ 2 , 4 , 6 ] , [ - 1 , - 1 , - 1 ] ] ) )
\ left ( \ begin { array } { rrr }
2 & 4 & 6 \ \
- 1 & - 1 & - 1
\ end { array } \ right )
類似地，本地Sage命令行中使用 view(foo) 則會
SageTex Package
通過 \usepackage{sagetex} 在tex文件中使用SageTex Package，可以直接在tex文件中插入Sage命令，並隨Latex輸出結果到pdf。具體可參見官方Sage Tutorial。
小結
剛剛發現Sage的時候覺得很好很強大啊，本身基於Python，可以使用Python的庫，也會比較好上手。同時又提供了比較方便的接口調用各種外部的數學系統，使得功能十分強大。另外與Latex的協同和嵌入功能，Sage Notebook和SageMathCloud等工具也都做得挺好用的。
我自己不是專業搞數學的，但是感覺開源項目里面要想出一個Matlab、Mathematica或者Maple級別的軟件，估計就得靠他了。Sage誕生於2005年，到目前為止國內關注的還很少，可能一方面是因為dao版的Matlab等軟件實在太方便了，另一方面因為數學系統本身涉及許多非常專業的數學知識，一般程序員很少接觸、專業人士又很少注開源。感覺要是能在大學課程（比如抽象代數、數論等）中得到使用的話會有比較好的普及效果。
對於我自己來說，平時從事計算機視覺和機器學習的研究，大概了解Sage了之后，也發現大部分純數學的功能自己一般很難用上，其中和我做過的工作比較有關的是有關代數幾何中用Groebner basis解多項式方程組的一些東西，不過自己純是外行，不好說能不能用Sage得到什么結果。寫這個介紹還是希望Sage能在國內有所發展，對相關的研究人員有所幫助吧。如果對Sage或者計算機視覺感興趣，歡迎來訪問我的博客cvnote（http://cvnote.info）。
一些參考或相關的鏈接
官方教程：http://www.sagemath.org/doc/tutorial/index.html
官方中文：http://www.sagemath.org/zh/
國內博客Lainme’s Blog的教程中文翻譯，博客上還有一些Sage使用的帖子：http://www.lainme.com/doku.php/topic/sage/start
國內amao博客男單 618的中文教程翻譯，博客有很多關於Sage使用的帖子：http://ai7.org/wp/html/682.html
作者：狼之獨步
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來源：簡書
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