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二分法可以說是鼎鼎大名，哪怕是沒有學過編程的同學，也許說不上來二分法這個名字，但是對於其中的精髓應該都是有所了解的。不了解的同學也沒關系，我一句話就能交代清楚：我們每次將一個集合一分為二，每次舍棄其中一半。
早在兩千多年前，庄子就搞清楚了二分法的精髓，他說：一尺之棰，日取其半，萬世不竭。從這個角度來說，二分法可能是這個世界上最古老的算法之一了。
二分法不僅古老，而且在計算機系統當中非常常見，許多系統當中都用到了二分法的思想。除此之外，在面試的時候，二分法的算法題也是常客。因為二分法本身不復雜，幾乎人人都會，但是對二分法的使用能力卻各有不同。出二分法的題，可以真實考察面試者的算法能力和編程功底。
不說比較困難的算法題想不出思路，就說最簡單沒有任何難度的純二分，在面試的時候，出錯的寫出bug的也大有人在。
很多人會覺得奇怪，二分法這么簡單的算法，真的有人寫不出來嗎？
還真的有，原因也很簡單，恰恰就是二分法太簡單了。
無論是在算法導論還是在一些其他的算法教材當中，關於二分法的描述都不多，詳細的會有一些圖例展示一下二分法的思想，簡單的就用幾句話描述一下原理，最后再展示一下代碼，就完事了。讀者在學的時候也是一樣，看了一眼原理，哦，非常簡單，再看一眼代碼，只有三四行，差不多一眼就能記住，那就丟在一邊吧。到了真正上手的時候，問題一下就暴露了出來。
二分法最常見的問題有兩個，一個是二分的區間邊界不清楚，另一個是二分查找的結果不明確。我想，這兩個問題是前幾次實現二分法的時候，一定會遇到的。遺憾的是，目前的教材當中對於這兩個問題介紹都不多，都只有代碼，留給讀者自行揣摩。
2
我們先說第一個問題——邊界
早在小學我們就學過，用l表示區間左邊界，r表示區間右邊界，mid=(l + r) / 2表示二分的中間點。這個在數學里非常明確，但在編程的時候，有一個隱藏的問題被忽略了。究竟這個區間是閉區間呢，還是開區間呢，還是半開半閉區間或者是半閉半開區間？如果這個問題不想清楚，想要一次性寫出沒有bug的代碼，老實說很不容易。
首先，二分終止的條件究竟怎么寫，是while (l < r) 還是 while (l <= r) 還是別的？還有，在搜索的時候，我們究竟要不要將a[mid] == v的情況單獨判斷？我們是判斷a[mid] < v還是a[mid] <= v？假設我們選擇用a[mid] <= v，得到的結果為true。我們知道答案應該在區間的右半邊，我們需要舍棄左邊的區間。應該對l賦值，但是我們是賦值成l = m呢還是l=m + 1呢？又是為什么呢？
你看，如果l和r表示的區間不考慮清楚，我們在實際寫代碼的時候就會遇到這樣棘手的問題。坑爹的是，當我們為這些邊界頭疼的時候，我們並不能意識到這是因為我們沒有搞清楚表示區間的方法導致的。往往會覺得是自己不夠熟悉。
顯然，要解決這個問題需要確定l和r表示的區間種類。那么到底應該選擇什么區間呢？是左閉右開，還是全閉，還是左開右閉呢？
答案有點出人意料，都行。
理論上來說，不論選什么樣的區間，只要代碼得當，都是可以的，可以說是完全看個人喜好。不過我個人推薦左閉右開，原因很簡單，這個和編程當中的數組定義的情況一致。我們都知道，在代碼的世界里，數組是從0開始的，一個長度為10的數組，最后一個元素的下標是9。如果使用左閉右開區間，我們將l=0，r=數組長度，就完成了初始化，如果用閉區間，r=長度-1，不免顯得有些多余。
假設我們確定了使用左閉右開區間，我們再來看前面說的兩個問題。
區間確定了，終止條件也就明確了，左閉右開區間[l, r)不為空的話，r 至少大於等於l + 1。我們要在區間長度大於1的時候執行二分，所以二分的循環條件應該是while (l + 1 < r)。
3
那么while里的判斷條件呢？
我們列舉一下，a[mid] 和v的大小關系無非只有三種。
第一種a[mid] = v，很簡單，mid就是我們要查找的結果，直接返回。
第二種a[mid] < v，說明我們應該取右邊的區間，由於l的位置可以取到，而mid已經不是答案了，所以l = mid + 1。
第三種a[mid] > v，應該取左邊的區間，mid不是答案，但是由於r指向的位置本身就不在候選區間里，所以r = mid，而不是mid-1，因為mid-1可能是答案，而r處的位置是取不到的。
到這里，似乎一切完美，我們可以很順利地寫出代碼了。但是還沒有結束，依然還有一個小問題。
前文說了，a[mid]和v的關系有三種，當a[mid] = v的時候，我們就找到了答案。從這個角度來看，我們二分的時候，通過l和r縮小區間的范圍，通過mid來尋找答案。但是既然我們已經折半區間的大小了，那么當區間長度為1的時候，剩下的就是答案，我們為什么還需要通過mid去查找答案呢？如果我們就想通過區間本身來查找答案，那么應該怎么辦呢？
也不難，我們需要把a[mid]小於和等於v的兩種情況合並，由於a[mid]可能等於v，所以我們不能跳過mid這個位置，l = mid + 1 應該寫成l = mid，於是整個代碼也就出來了：
-
def binary_search(a, v):
-
l, r = 0, len(a)
-
while l + 1 < r:
-
m = (l + r) // 2
-
if a[m] <= v:
-
l = m
-
else:
-
r = m
-
# 通過a[l] == v判斷v不存在與a數組當中的情況
-
return l
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可能會有同學好奇，如果我不使用左閉右開，而使用閉區間呢，代碼又該怎么寫？
其實只要把區間想清楚了，寫出來也不難。
-
def binary_search(a, v):
-
l, r = 0, len(a) - 1
-
while l <= r:
-
m = (l + r) // 2
-
if a[m] == v:
-
return m
-
if a[m] < v:
-
l = m + 1
-
else:
-
r = m - 1
-
# 表示不存在
-
return -1
不過還有一個小問題，為什么閉區間形式的二分法的判斷推薦是while (l <= r)呢？換成while (l < r)行不行？這個問題就留給大家思考。
二分法雖然簡單，但這些細節都理解清楚也並不容易，在算法領域當中，如果細節沒有理解到位，陰溝里翻船是非常平常的事情。希望今天的文章能對大家有所幫助。
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