題目描述
Leetcode 84 給定 n 個正整數的列表，表示矩形的高度，表示直方圖。每一個給出的矩形寬度是 1，找到在直方圖里最大的矩形面積。
如圖中給出的直方圖，寬度是 1，給出的高度是 [2,1,5,6,2,3].
可以在直方圖中找出最大的隱藏面積，答案是 10.
Input: [2,1,5,6,2,3]
Output: 10
題目分析
解法一：
最后矩形的最大面積，肯定是以某個矩形為最矮高度，向左向右可擴展的最大面積。
舉例子來說，假設以 6 為當前直方圖中的最矮高度，分別向左和向右擴展，但發現沒有找到比自己還高的。那么以 6 為最矮高度的矩形面積是 6.
如果以 2 以當前直方圖中的最矮高度，向左向右擴展后，發現左面高度為5, 6 的矩形和右面為 3 的矩形，都比自己高。那么以 2 為最矮高度的矩形面積是 2 + 2+ 2 + 2 = 8.
所以，依次以每個位置的矩形為最矮位置，然后依次拓展就能找到最大的矩形面積了。
class Solution:
def largestRectangleArea_old(self, heights: List[int]) -> int:
"""
O(n^2) -> 超時了，無法提交成功
:param heights:
:return:
思路：最后形成最大的矩形面積，肯定是以給定的數組中某個位置連續矩形的最矮位置。
從 index=0 的位置開始，假定它是這樣的位置，然后向左向右開始掃描，找出其連續的矩形
面積，然后依次比較這些找到的矩形面積。
"""
max_area = 0
index = 0
list_length = len(heights)
while index < list_length:
area = heights[index]
left_index = index - 1
while left_index > -1:
if heights[left_index] >= heights[index]:
area += heights[index]
left_index -= 1
else:
break
right_index = index + 1
while right_index < list_length:
if heights[right_index] >= heights[index]:
area += heights[index]
right_index += 1
else:
break
max_area = max_area if max_area > area else area
index += 1
return max_area
但可以發現，依次遍歷每個矩形的位置，時間復雜度為 O(n^2).
解法二:
如解法 1 提到的，最大的矩形面積其實就是以某個矩形為最矮位置可擴展的最大面積。這里使用的數據結構是單調遞增棧，用於保存局部矩形的峰值。
單調棧就是在棧里的元素，按照一定的規則進行排序。在本題里，棧里記錄的是給定的矩形高度的位置。依次去循環 heights 里的元素，如果比棧頂的元素的大，那么就將元素入棧。如果比棧頂元素的小，就需要出棧，計算以當前棧頂元素形成的矩形面積，直到遇到和要入棧元素一樣高的位置再停止。
需要注意的地方是：
- 給定的元素可能是一直遞增的，所以需要給 heights 末尾添加一個元素 0，用於計算之前的面積。
- 需要考慮出棧后，站內元素為 0 的情況，這時需要計算，最低矩形高度可以形成的連續矩形面積的情況。例如
[2,1,2]這種情況。
class Solution:
def largestRectangleArea(self, heights: List[int]) -> int:
# add 0 to query the last local peak area
# if the last height is still the highest
heights.append(0)
# definite a stack to record the heights position
# to get the local peak area
heights_position = []
max_area = 0
#
index = 0
while index < len(heights):
if len(heights_position) == 0 or heights[heights_position[-1]] <= heights[index]:
heights_position.append(index)
index += 1
else:
popped_position = heights_position.pop()
# get the continuous area of the smallest rectangle
# index represents the the number of elements has been processed
if len(heights_position) == 0:
max_area = max(max_area, index * heights[popped_position])
# Get maximum area of rectangle in monotonically increasing
else:
# index need to reduce 1 because the we add a 0
# to the end of heights array.
max_area = max(max_area,
(index - 1 - heights_position[-1]) * heights[popped_position])
return max_area
對於解法 2 來說，每個元素最多會入棧和出棧一次，所以時間復雜度為 O(2n) 也就是 O(n).