算法：楊輝三角（Pascal's Triangle）

一、楊輝三角介紹

　　楊輝三角形，又稱帕斯卡三角形、賈憲三角形、海亞姆三角形、巴斯卡三角形，是二項式系數的一種寫法，形似三角形，在中國首現於南宋楊輝的《詳解九章算法》得名，書中楊輝說明是引自賈憲的《釋鎖算書》，故又名賈憲三角形。在那之前，還有更早發現這個三角的波斯數學家和天文學家，但相關的內容沒有以圖文保存下來，所以中國的數學家對此研究有很大貢獻。

　　　　　　　　１
　　　　　　　１　１
　　　　　　１　２　１
　　　　　１　３　３　１
　　　　１　４　６　４　１
　　　１　５　10　10　５　１
　　１　６　15　20　15　６　１
　１　７　21　35　35　21　７　１
１　８　28　56　70　56　28　８　１

　　以上是楊輝三角的前 9 行，可以看出來每一行的所有數字對應着二項式 (A+B)ⁿ 的展開式系數，這里 n 從第 0 行開始。

二、楊輝三角的一些性質與實現

此三角形的性質有（注：最頂的 1 處於第 0 行）：

• 由正整數構成，每一行的數字左右對稱；

• 第（2的冪）行都是奇數；

• 每一行數字之和都是2的冪；

• 第N行數字個數都是N；

• 第N行的第K個數字為組合數；

• 除每行最左側與最右側的數字以外，每個數字等於它的左上方與右上方兩個數字之和（也就是說，第 N 行第 K 個數字等於第 N-1 行的第 K-1 個數字與第 K 個數字的和）。

　　因而固有恆等式：

　　　　    

　　可用此性質寫出整個楊輝三角形。

    /**
     * 楊輝三角與 (a+b)^n 二項式系數的展開
     *
     * @param n
     * @param k
     * @return
     */
    private static int binomialCoefficient(int n, int k) {
        int res = 1;
        if (k > n - k) {
            k = n - k;
        }
        for (int i = 0; i < k; i++) {
            res *= (n - i);
            res /= (i + 1);
        }
        return res;
    }

　　打印楊輝三角的函數：

    /**
     * 打印楊輝三角
     *
     * @param n
     */
    private static void printPascal(int n) {
        for (int line = 0; line < n; line++) {
            for (int i = 0; i <= line; i++) {
                System.out.print(binomialCoefficient(line, i) + " ");
            }
            System.out.println();
        }
    }

　　算法的時間復雜度大致為 O(N³)，這里 N 為所打印楊輝三角的行數。