Pascal三角形

作者：bakari   時間：2012.8.4

 

Pascal三角形又稱楊輝三角形，是多項式系數的一種規律展示，最早是由我國數學家楊輝發現，比Pascal早200多年。

下面簡單地總結一些其算法。

一、數組計算法：

1、公式推導：

這個很簡單，看圖就知道

由圖可得公式：a[ i ][ j ] = a[i - 1] [j - 1] + a[i - 1][ j ] 

2、代碼展示：

void YangHuiTriangleArray(int Row)                           
{
    for (int i = 0;i < Row; i++)
    {
        for (int j = 0;j <= i; j++)
        {
            if (j == 0 || j == i)  //置1條件
                a[i][j] = 1;
            else 
                a[i][j] = a[i - 1][j - 1] + a[i - 1][j];
            cout<<a[i][j]<<" ";
        }
        cout<<endl;
    }
}

二、遞歸法

這個是最好想到的，這一步的實現需要上一步作為鋪墊。

廢話不多說，直接來看代碼

long GetElement(int Row,int Col)
{
    if (0 == Col || Row == Col)   //遞歸出口
        return 1;
    else 
        return GetElement(Row - 1,Col - 1) + GetElement(Row - 1,Col);
}

void YangHuiTriangleRecur(const long n)
{
    for(int i = 0;i < n; i++)
    {
        for(int j = 0; j <= i; j++)
            cout<<GetElement(i,j)<<" ";
        cout<<endl;
    }
}

三、數學推導法

本方法主要借助數學推導，比起前兩種性能要好很多

令X10= 1 ；則

X20 = 1 , X21 = X20 * (2 - 1 + 1)/1 = 2 , X22 = X21 * (2 - 2 + 1)/2 = 1;

X30 = 1 , X31 = X30 * (3 - 1 + 1)/1 = 3 , X32 = X31 * (3 - 2 + 1)/2 = 3 , X33 = X32 * (3 - 3 + 1)/3 = 1;

.........

Xij = 1, Xij+1 = Xij * (i - j + 1)/j , ...... , Xii = 1;

 

大體就是這么個推導法，下面看代碼：

void YangHuiTriangle(int RowN)
{
    for (int i = 0;i < RowN;i++)
    {
        for (int j = 0;j <= i;j++)
        {
            if (j == 0)        //第一個數前面要輸出相應的空格
            {
                for (int k = 1;k < RowN - i; k++)
                    cout<<"  ";
            }
            else 
                cout<<" ";                          //數與數之間輸出相應空格  
            printf("%3d",ComputeNextInteger(i,j));  //輸出下一個數
        }
        cout<<endl;
    }
}

int ComputeNextInteger(int iRow ,int iRowIndex)
{
    long p = 1;
    for (int i = 1;i <= iRowIndex; i++)    
        p = p * (iRow - i + 1)/i;            //根據公式計算每一個數；
    return p;
}

見圖：

 

OK！希望多多燒香！