簡單易懂的拓撲排序

1.定義

對一個有向無環圖(Directed Acyclic Graph簡稱DAG) G進行拓撲排序，是將G中所有頂點排成一個線性序列，使得圖中任意一對頂點u和v，若邊(u,v)∈E(G)，則u在線性序列中出現在v之前。通常，這樣的線性序列稱為滿足拓撲次序(Topological Order)的序列，簡稱拓撲序列。簡單的說，由某個集合上的一個偏序得到該集合上的一個全序，這個操作稱之為拓撲排序。

在AOV網中，若不存在回路，則所有活動可排列成一個線性序列，使得每個活動的所有前驅活動都排在該活動的前面，我們把此序列叫做拓撲序列(Topological order)，由AOV網構造拓撲序列的過程叫做拓撲排序(Topological sort)。AOV網的拓撲序列不是唯一的，滿足上述定義的任一線性序列都稱作它的拓撲序列。　

2.拓撲排序的實現步驟

在有向圖中選一個沒有前驅的頂點並且輸出。

從圖中刪除該頂點和所有以它為尾的弧（白話就是：刪除所有和它有關的邊）。

重復上述兩步，直至所有頂點輸出，或者當前圖中不存在無前驅的頂點為止，后者代表我們的有向圖是有環的，因此，也可以通過拓撲排序來判斷一個圖是否有環。

3.拓撲排序實例手動實現

如果我們有如下的一個有向無環圖，我們需要對這個圖的頂點進行拓撲排序，過程如下：

 

首先，我們發現V6和v1是沒有前驅的，所以我們就隨機選去一個輸出，我們先輸出V6，刪除和V6有關的邊，得到如下圖結果：

 

然后，我們繼續尋找沒有前驅的頂點，發現V1沒有前驅，所以輸出V1，刪除和V1有關的邊，得到下圖的結果：

 

然后，我們又發現V4和V3都是沒有前驅的，那么我們就隨機選取一個頂點輸出（具體看你實現的算法和圖存儲結構），我們輸出V4，得到如下圖結果：

 

然后，我們輸出沒有前驅的頂點V3，得到如下結果：

 

然后，我們分別輸出V5和V2，最后全部頂點輸出完成，該圖的一個拓撲序列為：

v6–>v1—->v4—>v3—>v5—>v2

過程簡述：

從 DAG 圖中選擇一個 沒有前驅（即入度為0）的頂點並輸出。

從圖中刪除該頂點和所有以它為起點的有向邊。

重復 1 和 2 直到當前的 DAG 圖為空或當前圖中不存在無前驅的頂點為止。若當前圖中不存在無前驅的頂點說明有向圖中必存在環。

4.拓撲排序Java實現

（1）   示例

現在你總共有 n 門課需要選，記為 0 到 n-1。

在選修某些課程之前需要一些先修課程。 例如，想要學習課程 0 ，你需要先完成課程 1 ，我們用一個匹配來表示他們: [0,1]

給定課程總量以及它們的先決條件，判斷是否可能完成所有課程的學習？

示例 1:

輸入: 2, [[1,0]]

輸出: true

解釋: 總共有 2 門課程。學習課程 1 之前，你需要完成課程 0。所以這是可能的。

示例 2:

輸入: 2, [[1,0],[0,1]]

輸出: false

解釋: 總共有 2 門課程。學習課程 1 之前，你需要先完成​課程 0；並且學習課程 0 之前，你還應先完成課程 1。這是不可能的。

說明:

輸入的先決條件是由邊緣列表表示的圖形，而不是鄰接矩陣。詳情請參見圖的表示法。

你可以假定輸入的先決條件中沒有重復的邊。

（2）   截圖步驟：

本題思路：采用拓撲排序+廣度優先搜索的方式進行求解。

步驟一：對所有節點建立一個入度表times，times[i]表示第i個節點有多少個入度，（這里入度的意思是當實現此節點時，需要多少個前驅節點的支持）。

步驟二：將入度表中入度為0的節點添加到隊列que中。

步驟三：取出隊列第一個元素temp；並將times中，以該節點作為前驅節點的入度減一，並判斷入度是否等於0，如果等於0加入到隊列中。

步驟四：重復步驟三，知道隊列為空，判斷times中是否存在非0的節點，如果存在則說明有環，不存在說明無環。（其中隊列每次輸出的值就是拓排序的輸出值）

（3）   Java代碼：

class Solution {
    public boolean canFinish(int numCourses, int[][] prerequisites) {
       int []times=new int[numCourses];
        for(int i=0;i<prerequisites.length;i++) {
            int num=prerequisites[i][0];
            times[num]=times[num]+1;
        }
        Queue<Integer> que=new LinkedList<Integer>();
        for(int j=0;j<times.length;j++) {
            if(times[j]==0) {
                que.add(j);
            }
        }
        while(!que.isEmpty()) {
            int temp=que.poll();
            for(int m=0;m<prerequisites.length;m++) {
                if(prerequisites[m][1]==temp) {
                    times[prerequisites[m][0]]--;
                    if(times[prerequisites[m][0]]==0) {
                        que.add(prerequisites[m][0]);
                    }
                }
            }
        }
        for(int e=0;e<times.length;e++) {
            if(times[e]!=0) {
                return false;
            }
        }
        return true;
    }
}