一、動態連通性(Dynamic Connectivity）
Union-Find 算法（中文稱並查集算法）是解決動態連通性（Dynamic Conectivity）問題的一種算法。動態連通性是計算機圖論中的一種數據結構，動態維護圖結構中相連信息。簡單的說就是，圖中各個節點之間是否相連、如何將兩個節點連接，連接后還剩多少個連通分量。有點像我們的微信朋友圈，在社交網絡中，彼此熟悉的人之間組成自己的圈子，熟悉之后就會添加好友，加入新的圈子。微信用戶有幾億人，如何快速計算任意兩個用戶是否同屬於一個圈子呢？計算機是如何將兩個用戶連接起來的呢？整個微信用戶共有幾個獨立的圈子呢？Union-Find就可以解決上述問題。
二、基本概念
結合下面圖的例子來了解基本概念：
連通是一種等價關系，也就是說具有如下三個性質：
1、自反性：節點p和p是連通的。
2、對稱性：如果節點p和q連通，那么q和p也連通。
3、傳遞性：如果節點p和q連通，q和r連通，那么p和r也連通。
class UF:
def __init__(self,N): #N表示初始化的節點數，也即最初的連通分量數 def union(self,p,q): # 將節點p和q進行連接 def connected(self,p,q): #判斷p和q是否連接 def count(): #返回當前的連通分量
除了社交網絡中的朋友圈計算，還可以判斷編譯器同一個變量的不同引用。
Union-Find 算法的關鍵就在於union和connected函數的效率。使用什么樣的數據結構來實現這種高效率呢？
三、解決思路
用樹來表示節點直接的連接，只要是連接的節點都在同一顆樹中，多棵樹就是多個連通分量，進而組成了整個森林。怎么用森林來表示連通性呢？我們設定樹的每個節點都有一個指針指向其父節點，如果是根節點的話，這個指針指向自己。
如果某兩個節點被連通，則讓其中的（任意）一個節點的根節點接到另一個節點的根節點上，這樣，如果節點p和q連通的話，它們一定擁有相同的根節點：
class UF: def __init__(self,N): #N表示初始化的節點數，也即最初的連通分量數 self.count=N self.root=[0] #root表示存儲每個節點的根節點，第一個位置用0占位 for i in range(1,N+1): #初始化每個節點的根節點指向自己 self.root.append(i) def union(self,p,q): # 將節點p和q進行連接，讓p的根節點指向q節點的根節點即可 if self.connected(p,q): return; p_root=self.find(p) q_root=self.find(q) self.root[p_root]=q_root self.count-=1 def find(self,p): #查找節點p的根節點 while p!=self.root[p]: p=self.root[p] return p def connected(self,p,q): #判斷p和q是否連接 return self.find(p)=self.find(q) def count(): #返回當前的連通分量 return self.count
算法效率分析：
從上述代碼可以看出，union-find算法的效率主要在於find函數上面，因為union和connected兩個函數的關鍵都在查找根節點上面，即find函數。find主要功能就是從某個節點向上遍歷到樹根，其時間復雜度就是樹的高度。我們可能習慣性地認為樹的高度就是logN，但這並不一定。logN的高度只存在於平衡二叉樹，對於一般的樹可能出現極端不平衡的情況，使得樹幾乎退化成直線鏈表，樹的高度最壞情況下可能變成N，如下圖所示:
如果按照上面的情況，左邊圈子與右邊圈子進行連接的話，每個圈子找到根節點的時間復雜度都是O(N)級別的，對於諸如社交網絡這樣數據規模巨大的問題，而union和connected的調用都非常頻繁，每次都需要線性時間復雜度，效率就顯得比較低下了。其實這個問題就是樹不平衡造成的。
四、平衡樹
class UF: def __init__(self,N): #N表示初始化的節點數，也即最初的連通分量數 self.count=N self.root=[0] #root表示存儲每個節點的根節點，第一個位置用0占位 self.size=[0] for i in range(1,N+1): #初始化每個節點的根節點指向自己,樹的大小為1 self.root.append(i) self.size.append(1) def union(self,p,q): # 將節點p和q進行連接，讓p的根節點指向q節點的根節點即可 if self.connected(p,q): return; p_root=self.find(p) q_root=self.find(q) if size[p_root]<= size[q_root]: self.root[p_root]=q_root self.size[q_root]+=self.size[p_root] #p節點數合並到q根節點上 else: self.root[q_root]=self.root[p_root] self.size[p_root]=self.size[p_root] #q節點數合並到p根節點上 self.count-=1 def find(self,p): #查找節點p的根節點 while p!=self.root[p]: p=self.root[p] return p def connected(self,p,q): #判斷p和q是否連接 return self.find(p)=self.find(q) def count(): #返回當前的連通分量 return self.count
五、路徑壓縮(進一步優化find函數)
是不是可以進一步壓縮樹的高度，加快find函數的查找速度，find的效率提升了，等於union和connected函數效率提升了。
如果是上圖這種形式，那查找速度基本就是O(1)級別了。但是一個平衡樹一步是不可能壓縮到這種形式，可以在find函數中加上一行代碼，在每次查找的時候，就可以順便壓縮了路徑，將樹的高度進一步降低，代碼如下：
class UF: def __init__(self,N): #N表示初始化的節點數，也即最初的連通分量數 self.count=N self.root=[0] #root表示存儲每個節點的根節點，第一個位置用0占位 self.size=[0] for i in range(1,N+1): #初始化每個節點的根節點指向自己,樹的大小為1 self.root.append(i) self.size.append(1) def union(self,p,q): # 將節點p和q進行連接，讓p的根節點指向q節點的根節點即可 p_root=self.find(p) q_root=self.find(q) if p_root==q_root: return if self.size[p_root]<= self.size[q_root]: self.root[p_root]=q_root self.size[q_root]+=self.size[p_root] #p節點數合並到q根節點上 else: self.root[q_root]=self.root[p_root] self.size[p_root]=self.size[p_root] #q節點數合並到p根節點上 self.count-=1 def find(self,p): #查找節點p的根節點 while p!=self.root[p]: self.root[p]=self.root[self.root[p]]#路徑壓縮，直接把p節點指向其父節點的父節點，其實查找也變成了跳躍查找了。 p=self.root[p] return p def connected(self,p,q): #判斷p和q是否連接 return self.find(p)==self.find(q) def count_func(): #返回當前的連通分量 return self.count
這種思路每調用一次find函數，路徑就會壓縮一次，直到路徑不能壓縮為止。
看代碼不好理解，我們以圖示的形式進行展示：
