來源：https://ww2.mathworks.cn/help/matlab/ref/polyfit.html?searchHighlight=polyfit&s_tid=doc_srchtitle#bue6sxq-1-n
polyfit
說明
示例
將多項式與三角函數擬合
在區間 [0,4*pi] 中沿正弦曲線生成 10 個等間距的點。
x = linspace(0,4*pi,10); y = sin(x);
使用 polyfit 將一個 7 次多項式與這些點擬合。
p = polyfit(x,y,7);
在更精細的網格上計算多項式並繪制結果圖。
x1 = linspace(0,4*pi);
y1 = polyval(p,x1);
figure
plot(x,y,'o')
hold on plot(x1,y1) hold off
將多項式與點集擬合
創建一個由區間 [0,1] 中的 5 個等間距點組成的向量，並計算這些點處的 y(x)=(1+x)−1。
x = linspace(0,1,5); y = 1./(1+x);
將 4 次多項式與 5 個點擬合。通常，對於 n 個點，可以擬合 n-1 次多項式以便完全通過這些點。
p = polyfit(x,y,4);
在由 0 和 2 之間的點組成的更精細網格上計算原始函數和多項式擬合。
x1 = linspace(0,2); y1 = 1./(1+x1); f1 = polyval(p,x1);
在更大的區間 [0,2] 中繪制函數值和多項式擬合，其中包含用於獲取以圓形突出顯示的多項式擬合的點。多項式擬合在原始 [0,1] 區間中的效果較好，但在該區間外部很快與擬合函數出現差異。
figure
plot(x,y,'o')
hold on plot(x1,y1) plot(x1,f1,'r--') legend('y','y1','f1')
對誤差函數進行多項式擬合
首先生成 x 點的向量，在區間 [0,2.5] 內等間距分布；然后計算這些點處的 erf(x)。
x = (0:0.1:2.5)'; y = erf(x);
確定 6 次逼近多項式的系數。
p = polyfit(x,y,6)
p = 1×7
0.0084 -0.0983 0.4217 -0.7435 0.1471 1.1064 0.0004
為了查看擬合情況如何，在各數據點處計算多項式，並生成說明數據、擬合和誤差的一個表。
f = polyval(p,x);
T = table(x,y,f,y-f,'VariableNames',{'X','Y','Fit','FitError'})
T=26×4 table
X Y Fit FitError
___ _______ __________ ___________
0 0 0.00044117 -0.00044117
0.1 0.11246 0.11185 0.00060836
0.2 0.2227 0.22231 0.00039189
0.3 0.32863 0.32872 -9.7429e-05
0.4 0.42839 0.4288 -0.00040661
0.5 0.5205 0.52093 -0.00042568
0.6 0.60386 0.60408 -0.00022824
0.7 0.6778 0.67775 4.6383e-05
0.8 0.7421 0.74183 0.00026992
0.9 0.79691 0.79654 0.00036515
1 0.8427 0.84238 0.0003164
1.1 0.88021 0.88005 0.00015948
1.2 0.91031 0.91035 -3.9919e-05
1.3 0.93401 0.93422 -0.000211
1.4 0.95229 0.95258 -0.00029933
1.5 0.96611 0.96639 -0.00028097
⋮
在該區間中，插值與實際值非常符合。創建一個繪圖，以顯示在該區間以外，外插值與實際數據值如何快速偏離。
x1 = (0:0.1:5)';
y1 = erf(x1);
f1 = polyval(p,x1);
figure
plot(x,y,'o')
hold on plot(x1,y1,'-') plot(x1,f1,'r--') axis([0 5 0 2]) hold off
使用中心化和縮放改善數值屬性
創建一個由 1750 - 2000 年的人口數據組成的表，並繪制數據點。
year = (1750:25:2000)'; pop = 1e6*[791 856 978 1050 1262 1544 1650 2532 6122 8170 11560]'; T = table(year, pop)
T=11×2 table
year pop
____ _________
1750 7.91e+08
1775 8.56e+08
1800 9.78e+08
1825 1.05e+09
1850 1.262e+09
1875 1.544e+09
1900 1.65e+09
1925 2.532e+09
1950 6.122e+09
1975 8.17e+09
2000 1.156e+10
plot(year,pop,'o')
使用帶三個輸入的 polyfit 擬合一個使用中心化和縮放的 5 次多項式，這將改善問題的數值屬性。polyfit 將 year 中的數據以 0 為進行中心化，並縮放為具有標准差 1，這可避免在擬合計算中出現病態的 Vandermonde 矩陣。
[p,~,mu] = polyfit(T.year, T.pop, 5);
使用帶四個輸入的 polyval，根據縮放后的年份 (year-mu(1))/mu(2) 計算 p。繪制結果對原始年份的圖。
f = polyval(p,year,[],mu);
hold on
plot(year,f)
hold off
簡單線性回歸
將一個簡單線性回歸模型與一組離散二維數據點擬合。
創建幾個由樣本數據點 (x,y) 組成的向量。對數據進行一次多項式擬合。
x = 1:50;
y = -0.3*x + 2*randn(1,50);
p = polyfit(x,y,1);
計算在 x 中的點處擬合的多項式 p。用這些數據繪制得到的線性回歸模型。
f = polyval(p,x);
plot(x,y,'o',x,f,'-') legend('data','linear fit')
具有誤差估計值的線性回歸
將一個線性模型擬合到一組數據點並繪制結果，其中包含預測區間為 95% 的估計值。
創建幾個由樣本數據點 (x,y) 組成的向量。使用 polyfit 對數據進行一次多項式擬合。指定兩個輸出以返回線性擬合的系數以及誤差估計結構體。
x = 1:100;
y = -0.3*x + 2*randn(1,100);
[p,S] = polyfit(x,y,1);
計算以 p 為系數的一次多項式在 x 中各點處的擬合值。將誤差估計結構體指定為第三個輸入，以便 polyval 計算標准誤差的估計值。標准誤差估計值在 delta 中返回。
[y_fit,delta] = polyval(p,x,S);
繪制原始數據、線性擬合和 95% 預測區間 y±2Δ。
plot(x,y,'bo')
hold on plot(x,y_fit,'r-') plot(x,y_fit+2*delta,'m--',x,y_fit-2*delta,'m--') title('Linear Fit of Data with 95% Prediction Interval') legend('Data','Linear Fit','95% Prediction Interval')
輸入參數
輸出參數
局限性
-
在涉及很多點的問題中，使用
polyfit增加多項式擬合的次數並不總能得到較好的擬合。高次多項式可以在數據點之間振動，導致與數據之間的擬合較差。在這些情況下，可使用低次多項式擬合（點之間傾向於更平滑）或不同的方法，具體取決於該問題。 -
多項式在本質上是無邊界的振盪函數。所以，它們並不非常適合外插有界的數據或單調（遞增或遞減）的數據。
算法
polyfit 使用 x 構造具有 n+1 列和 m = length(x) 行的 Vandermonde 矩陣 V 並生成線性方程組
xn