(一)、完全圖、偶圖與補圖
1、每兩個不同的頂點之間都有一條邊相連的簡單圖稱為完全圖 (complete graph).在同構意義下，n個頂點的完全圖只有一個，記為
2、所謂具有二分類（X, Y）的偶圖（或二部圖）是指一個圖，它的點集可以分解為兩個(非空)子集X和Y，使得每條邊的一個端點在X中，另一個端點在Y中.
完全偶圖是指具有二分類（X, Y）的簡單偶圖，其中X的每個頂點與Y的每個頂點相連，若|X|=m，|Y|=n，則這樣的偶圖記為 Km, n 
偶圖是一種常見數學模型
例1 學校有6位教師將開設6門課程。六位教師的代號是xi（i=1,2,3,4,5,6)，六門課程代號是yi （i=1,2,3,4,5,6)。已知，教師x1能夠勝任課程y2和y3；教師x2能夠勝任課程y4和y5；教師x3能夠勝任課程y2；教師x4能夠勝任課程y6和y3；
教師x5能夠勝任課程y1和y6；教師x6能夠勝任課程y5和y6。請畫出老師和課程之間的狀態圖。
3、對於一個簡單圖G =（V, E），令集合
則稱圖H =（V，E1\E）為G的補圖，記為
例如，下面兩個圖互為補圖。
補圖是相對於完全圖定義的。補圖是圖論中經常涉及的概念，在圖論研究中有重要的作用
如果圖G與其補圖同構，則稱G為自補圖。
定理：若n階圖G是自補圖( 
),則有：
證明：n階圖G是自補圖，則有：
所以：
由於n是正整數，所以：
自補圖是很有意義的圖類。它在對角型拉姆齊數方面的研究、關於圖的香農容量的研究、強完美圖方面的研究等都有重要作用。
例2 在10個頂點以下的簡單圖中，哪些階數的圖可能為自補圖？畫出8階的4個自補圖(共10個)。
(二)、頂點的度與圖的度序列
1、頂點的度及其性質
G的頂點v的度d (v)是指G中與v關聯的邊的數目，每個環計算兩次。 分別用δ(G)和Δ(G)表示圖G的最小與最大度。
奇數度的點稱為奇度點，偶數度的頂點稱偶度點。
設G = (V, E)為簡單圖，如果對所有 
，有d (v) = k，稱圖G為k-正則圖
定理： 圖G= (V, E)中所有頂點的度的和等於邊數m的2倍，即：
證明：由頂點度的定義知：圖中每條邊給圖的總度數貢獻2度，所以，總度數等於邊數2倍。
注：該定理稱為圖論第一定理，是由歐拉提出的。歐拉一生發表論文886篇，著作90部。該定理還有一個名字：“握手定理”。
推論1 在任何圖中，奇點個數為偶數。
證明：設V1,V2分別是G中奇點集和偶點集.則由
握手定理有：
是偶數，由於 
是偶數， 所以 
偶數，於是 
是偶數。
推論2 正則圖的階數和度數不同時為奇數 。
證明 ： 設G是k-正則圖，若k為奇數，則由推論1知正則圖G的點數必為偶數
例4 Δ與δ是簡單圖G的最大度與最小度，求證：
證明：由握手定理有：
所以有：
2、圖的度序列及其性質
一個圖G的各個點的度d1, d2,…, dn構成的非負整數組(d1, d2,…, dn)稱為G的度序列 。任意一個圖G對應唯一一個度序列，圖的度序列是刻畫圖的特征的重要“拓撲不變量”。
圖G 的“拓撲不變量”是指與圖G有關的一個數或數組(向量)。它對於與圖G同構的所有圖來說，不會發生改變。
定理：非負整數組(d1,d2,…., d n)是圖的度序列的充分必要條件是： 
為偶數。
證明：必要性由握手定理立即得到。如果 
為偶數，則數組中為奇數的數字個數必為偶數。按照如下方式作圖G:若di為偶數，則在與之對應的點作di/2個環；對於剩下的偶數個奇數，
兩兩配對后分別在每配對點間先連一條邊，然后在每個頂點畫dj-1/2個環。該圖的度序列就是已知數組。
一個非負數組如果是某簡單圖的度序列，我們稱它為可圖序列(graphic sequence)，簡稱圖序列。
關於圖序列，主要研究3個問題：
(1) 存在問題：什么樣的整數組是圖序列？
(2) 計數問題：一個圖序列對應多少不同構的圖？
(3) 構造問題：如何畫出圖序列對應的所有不同構圖？
研究現狀: (1)徹底解決了，(2)解決得不完整，(3)沒有解決。
定理(Havel 1955, Hakimi 1962)：非負整數組
是圖序列的充分必要條件是：
是圖序列。
例5 
是否為圖序列？如果是，作出對應的一個簡單圖。
3、圖的頻序列及其性質
定理： 一個簡單圖G的n個點的度不能互不相同
證明： 因為圖G為簡單圖，所以：△(G)≤n-1。
情形1：若G沒有孤立點，則 
由鴿籠原理：必有兩頂點度數相同；
情形2：若G只有一個孤立點，設G1表示G去掉孤立點后的部分，則：
由鴿籠原理：在G1里必有兩頂點度數相同；
情形3：若G只有兩個以上的孤立點，則定理顯然成立。
定義： 設n階圖G的各點的度取s個不同的非負整數d1,d2,…, ds。又設度為di的點有bi個 (i = 1,2,…,s)，則
故非整數組(b1,b2,…, bs)是n的一個划分，稱為G的頻序列。
定理： 一個n階圖G和它的補圖有相同的頻序列。